Calcule as integrais abaixo.
\int_{-\pi}^{\pi}\left(1+3 x^{2}+5 x^{8}-10 x^{14}\right) \operatorname{sen} 2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(1+3x^{2}+5x^{8}-10x^{14}\bigr)\sin(2x)\,dx.
O conteúdo aqui é reconhecimento de paridade de função e uso da propriedade de integrais em intervalos simétricos.

Passo 2

Observamos que a função
f(x)=1+3x^{2}+5x^{8}-10x^{14}
é polinomial em potências pares de x, logo f(x) é par, ou seja, f(-x)=f(x). Por outro lado, \sin(2x) é uma função ímpar, pois \sin(-2x)=-\sin(2x).

Passo 3

O produto de uma função par por uma função ímpar é uma função ímpar. Assim, o integrando
g(x)=f(x)\,\sin(2x)
é ímpar, pois g(-x)=f(-x)\sin(-2x)=f(x)\bigl(-\sin(2x)\bigr)=-g(x).

Passo 4

Para qualquer função ímpar g(x) integrável em [-a,a] vale
\int_{-a}^{a}g(x)\,dx=0.
Aqui a=\pi, logo
\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(1+3x^{2}+5x^{8}-10x^{14}\bigr)\sin(2x)\,dx = 0.

Resposta

0

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