Calcule as integrais abaixo.
\int x^{2} \operatorname{sen} 2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int x^{2}\sin(2x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que precisaremos aplicar duas vezes.

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = x^{2}, \quad dv = \sin(2x)\,dx.
Então
du = 2x\,dx, \quad v = \int \sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x).
Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}x^{2}\cos(2x) - \int\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\bigr)\cdot 2x\,dx
= -\tfrac{1}{2}x^{2}\cos(2x) + \int x\cos(2x)\,dx.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \int x\cos(2x)\,dx por partes novamente, escolhendo
u = x, \quad dv = \cos(2x)\,dx.
Então
du = dx, \quad v = \int \cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\sin(2x).
Aplicando a fórmula,
\int x\cos(2x)\,dx = \tfrac{x}{2}\sin(2x) - \int \tfrac{1}{2}\sin(2x)\,dx
= \tfrac{1}{2}x\sin(2x) - \tfrac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\Bigr) = \tfrac{1}{2}x\sin(2x) + \tfrac{1}{4}\cos(2x).

Passo 4

Substituindo esse resultado em
-\tfrac{1}{2}x^{2}\cos(2x) + \int x\cos(2x)\,dx
temos
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}x^{2}\cos(2x) + \Bigl(\tfrac{1}{2}x\sin(2x) + \tfrac{1}{4}\cos(2x)\Bigr) + C.
Podemos deixar a resposta final como abaixo.

Resposta

-\tfrac{1}{2}x^{2}\cos(2x) + \tfrac{1}{2}x\sin(2x) + \tfrac{1}{4}\cos(2x) + C.

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