pontos) Considere a série
Assumindo que a função
tal que
seja uma função contínua e decrescente em
, em que
é o termo geral da série,
(i) Justifique por que
é positiva em
.
(ii) Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
(i) Justifique por que
(ii) Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado trata da série
Queremos aplicar o Teste da Integral para decidir convergência, assumindo que existe
contínua e decrescente em
tal que
.
Passo 2
Para justificar que
é positiva em
, note que para todo
temos:
- o numerador
, - o denominador
.
Logo
Passo 3
Pelo Teste da Integral, comparamos a série
à integral imprópria de
. Calculamos
Fazendo a substituição
,
, os limites vão de
a
, então
Quando
,
, logo a integral diverge. Pelo Teste da Integral, a série também diverge.
Resposta
A série
é divergente.