\left(20\right. pontos) Considere a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n}{n^{2}+1}
Assumindo que a função f tal que a_{n}=f(n) seja uma função contínua e decrescente em [1, \infty), em que a_{n} é o termo geral da série,
(i) Justifique por que f é positiva em [1, \infty).
(ii) Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado trata da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{n^{2}+1}
Queremos aplicar o Teste da Integral para decidir convergência, assumindo que existe f(x)=\frac{2x}{x^2+1} contínua e decrescente em [1,\infty) tal que a_n=f(n).

Passo 2

Para justificar que f é positiva em [1,\infty), note que para todo x\ge1 temos:
  • o numerador 2x>0,
  • o denominador x^2+1>0.
    Logo
f(x)=\frac{2x}{x^2+1}>0\quad\forall\,x\ge1.

Passo 3

Pelo Teste da Integral, comparamos a série \sum_{n=1}^\infty a_n à integral imprópria de f(x). Calculamos
\int_{1}^{A}\frac{2x}{x^2+1}\,dx.
Fazendo a substituição u=x^2+1, du=2x\,dx, os limites vão de u(1)=2 a u(A)=A^2+1, então
\int_{1}^{A}\frac{2x}{x^2+1}\,dx =\int_{2}^{A^2+1}\frac{1}{u}\,du =\bigl[\ln(u)\bigr]_{2}^{A^2+1} =\ln\bigl(A^2+1\bigr)-\ln(2).
Quando A\to\infty, \ln(A^2+1)\to\infty, logo a integral diverge. Pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{n^{2}+1}
é divergente.

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