Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{(\sqrt{2})^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{(\sqrt{2})^{n}}
que é um caso de série geométrica. Para resolver, vamos identificar o termo geral e a razão dessa série.

Passo 2

O termo geral da série é
a_{n} = \frac{2^{n}}{(\sqrt{2})^{n}}.
Para uma série geométrica, a razão r pode ser encontrada pelo quociente
r = \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{2^{n+1}/(\sqrt{2})^{\,n+1}}{2^{n}/(\sqrt{2})^{\,n}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.

Passo 3

A condição de convergência de uma série geométrica \sum a_{1}r^{\,n-1} é |r|<1. Aqui |r|=\sqrt{2}>1, portanto a série não satisfaz a condição e diverge.

Resposta

A série é divergente.

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