(30 pontos) Encontre a solução da EDO abairo:
2 x y y^{\prime}=-\left(2 x+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2\,x\,y\,y' \;=\; -\bigl(2\,x + y^{2}\bigr).
O conteúdo aqui é de EDO exata. Para resolver, vamos reescrever em forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0, testar exatidão e encontrar uma função potencial F(x,y) cuja diferencial seja zero.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma diferencial, isolamos todos os termos em dx e dy:
2\,x\,y\,\frac{dy}{dx} + 2\,x + y^{2} = 0
que equivale a
\bigl(2\,x + y^{2}\bigr)\,dx \;+\;2\,x\,y\,dy \;=\;0.
Aqui definimos
M(x,y)=2\,x + y^{2}, \qquad N(x,y)=2\,x\,y.

Passo 3

Verificamos se a forma é exata calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 2\,y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2\,y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Existe então uma função F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y), \quad \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y).
Integramos M em relação a x:
F(x,y)=\int\bigl(2\,x + y^{2}\bigr)\,dx = x^{2} + x\,y^{2} + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Impondo \partial F/\partial y = N(x,y), temos
\frac{\partial F}{\partial y} =2\,x\,y + h'(y) \stackrel!=2\,x\,y \;\Longrightarrow\; h'(y)=0 \;\Longrightarrow\; h(y)=\text{constante}.
Logo a solução implícita é
F(x,y)=x^{2}+x\,y^{2}=C,
com C constante arbitrária.

Passo 6

Para obter y explicitamente, escrevemos
x^{2}+x\,y^{2}=C \;\Longrightarrow\; y^{2}=\frac{C - x^{2}}{x} =\frac{C}{x}-x \;\Longrightarrow\; y=\pm\sqrt{\frac{C}{x}-x}.

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por
x^{2}+x\,y^{2}=C,
ou explicitamente por
y=\pm\sqrt{\frac{C}{x}-x},
onde C é constante de integração.

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