(30 pontos) Encontre a solução da EDO abairo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
O conteúdo aqui é de EDO exata. Para resolver, vamos reescrever em forma diferencial
, testar exatidão e encontrar uma função potencial
cuja diferencial seja zero.
Passo 2
Reescrevendo a equação em forma diferencial, isolamos todos os termos em
e
:
que equivale a
Aqui definimos
Passo 3
Verificamos se a forma é exata calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Existe então uma função
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 5
Impondo
, temos
Logo a solução implícita é
com
constante arbitrária.
Passo 6
Para obter
explicitamente, escrevemos
Resposta
A solução geral da EDO é dada implicitamente por
ou explicitamente por
onde
é constante de integração.