( 30 pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y^{\prime}=y^{2}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y' = y^{2},\quad y(0)=1,
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem do tipo separável. Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Separe as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro. Como
\frac{dy}{dx} = y^{2},
podemos escrever
\frac{dy}{y^{2}} = dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y^{2}} = \int dx.
A primitiva de y^{-2} em relação a y é -y^{-1}, e a primitiva de 1 em relação a x é x mais constante. Logo
-\,\frac{1}{y} = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplique a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 em
-\,\frac{1}{y} = x + C
-\,\frac{1}{1} = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Assim a relação fica
-\,\frac{1}{y} = x - 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y} = 1 - x.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução explícita
y(x) = \frac{1}{1 - x}.
O ponto x=1 é singular (denominador nulo), portanto o maximal domínio que contém x=0 é (-\infty,1).

Resposta

y(x) = \frac{1}{1 - x},\quad x<1.

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