( 30 pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem do tipo separável. Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.
Passo 2
Separe as variáveis colocando todos os termos em
de um lado e em
do outro. Como
podemos escrever
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
A primitiva de
em relação a
é
, e a primitiva de
em relação a
é
mais constante. Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Aplique a condição inicial
. Substituindo
e
em
dá
Assim a relação fica
Passo 5
Isolando
, obtemos a solução explícita
O ponto
é singular (denominador nulo), portanto o maximal domínio que contém
é
.