(30 pontos) Resolva a seguinte EDO:
2 y^{\prime}+y=3 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem
2\,y'(t)+y(t)=3\,t
O conteúdo envolvido é “EDO linear de 1ª ordem” e vamos usar duas etapas:
  1. achar a solução homogênea y_h.
  2. encontrar uma solução particular y_p por chute polinomial.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por 2:
y'(t)+\tfrac12\,y(t)=\tfrac32\,t.

Passo 3

Resolvendo a homogênea
y'(t)+\tfrac12\,y(t)=0
separamos variáveis ou reconhecemos coeficiente constante. A solução é
y_h(t)=C\,e^{-\,\tfrac t2},
onde C é constante arbitrária.

Passo 4

Procuramos uma solução particular por chute do tipo polinomial de grau 1:
y_p(t)=A\,t+B.
Então
y_p'(t)=A.
Substituindo em 2y'+y=3t:
2\bigl(A\bigr)+\bigl(A\,t+B\bigr)=3\,t \;\Longrightarrow\; A\,t+(B+2A)=3\,t.
Comparando coeficientes de t e termos independentes:
A=3, \quad B+2A=0\;\Longrightarrow\;B=-6.
Logo
y_p(t)=3\,t-6.

Passo 5

A solução geral é soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C\,e^{-\,\tfrac t2}+3\,t-6.

Resposta

y(t)=C\,e^{-\,\tfrac t2}+3\,t-6.

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