(30 pontos) Encontre a solução da EDO abaixo:
(x+y) d x+x ln x d y=0

Passo 1

Beleza, o problema é: “Encontre a solução da EDO
(x+y),dx + xln x,dy = 0
Isso cai em Equações Diferenciais de 1ª ordem, mais especificamente numa equação que não é exata à primeira vista. Para resolver, vamos usar:
  1. Teste de exatidão (derivadas parciais).
  2. Se não for exata, buscar um fator integrante só em x.
  3. Tornar a equação exata e achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, montamos
M(x,y) = x + y e N(x,y) = xln x.
Para ver se é exata, comparamos
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = ln x + 1
Como 1 neq ln x+1, não é exata.

Passo 3

Teoria rápida do fator integrante em x: se
partial Mpartial y - partial Npartial xN
der só em função de x, existe mu(x)=e^integral (cdots),dx. Aqui
1 - (ln x + 1)xln x = -ln xxln x = -1x,
que é só de x. Logo
mu(x) = exp!l(integral -tfrac1x,dxr) = e^-ln x = 1x

Passo 4

Multiplicamos a EDO por mu(x)=1/x:
l(1+tfrac yxr),dx + ln x,dy = 0
Agora M^*(x,y)=1+ yx e N^*(x,y)=ln x.
Verifica-se
partial M^*partial y = 1x, partial N^*partial x = 1x,
ou seja, ficou exata.

Passo 5

Em equação exata, existe uma função Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M^* = 1 + yx
Integramos em x:
Psi(x,y) = integral!l(1 + yxr),dx = x + yln x + h(y),
onde h(y) é “constante” em x.
Agora impomos
partial Psipartial y = ln x + h'(y) overset!= N^* = ln x ;Longrightarrow; h'(y)=0 ;Longrightarrow; h(y)=C1

Resposta

A solução geral fica (absorvendo C1 numa constante C):
boxedx + yln x = C

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