(30 pontos) Encontre a solução da EDO abaixo:
Passo 1
Beleza, o problema é: “Encontre a solução da EDO
Isso cai em Equações Diferenciais de 1ª ordem, mais especificamente numa equação que não é exata à primeira vista. Para resolver, vamos usar:
- Teste de exatidão (derivadas parciais).
- Se não for exata, buscar um fator integrante só em
. - Tornar a equação exata e achar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, montamos
e
.
Para ver se é exata, comparamos
Para ver se é exata, comparamos
Como
, não é exata.
Passo 3
Teoria rápida do fator integrante em
: se
der só em função de
, existe
. Aqui
que é só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a EDO por
:
Agora
e
.
Verifica-se
Verifica-se
ou seja, ficou exata.
Passo 5
Em equação exata, existe uma função
tal que
Integramos em
:
onde
é “constante” em
.
Agora impomos
Agora impomos
Resposta
A solução geral fica (absorvendo
numa constante
):