Encontre os vetores T(t), N(t) e B(t) no ponto indicado.
(t^2, 3 t^3, t) ;(1, 3, 1)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva espacial
r(t) = l(t^2,;3t^3,;tr)
e pede os vetores de Frenet–Serret T(t), N(t) e B(t) no ponto l(1,3,1r). Primeiro identificamos que r(t) atinge l(1,3,1r) quando t=1, pois 1^2=1, 3cdot1^3=3 e 1=1. Para calcular T, N e B vamos usar as definições
T = r'|r'|, B = r'timesr''|r'timesr''|, N = BtimesT

Passo 2

Calculamos a derivada primeira e seu módulo em t=1:
r'(t) = l(2t,;9t^2,;1r), r'(1) = (2,,9,,1),
|r'(1)| = raiz2^2 + 9^2 + 1^2 = raiz4 + 81 + 1 = raiz86

Passo 3

O versor tangente em t=1 é
T(1) = r'(1)|r'(1)| = (2,,9,,1)raiz86

Passo 4

Agora a derivada segunda em t=1 e o binormal:
r''(t) = (2,;18t,;0), r''(1) = (2,,18,,0)
O produto vetorial é
r'(1)timesr''(1) = (2,,9,,1)times(2,,18,,0) = (-18,,2,,18) = 2,(-9,,1,,9),
e seu módulo
|r'(1)timesr''(1)| = 2raiz(-9)^2 + 1^2 + 9^2 = 2raiz163
Logo o versor binormal é
B(1) = r'(1)timesr''(1)|r'(1)timesr''(1)| = (-9,,1,,9)raiz163

Passo 5

Finalmente, o versor normal principal vem de
N(1) = B(1)timesT(1)
Calculando o produto vetorial (e lembrando que raiz163,raiz86=raiz14018) obtemos
N(1) = (-9,,1,,9)raiz163 times (2,,9,,1)raiz86 = (-80,,27,,-83)raiz14018

Resposta

T(1)=(2,9,1)raiz86, N(1)=(-80,27,-83)raiz14018, B(1)=(-9,1,9)raiz163

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