Calcule o divergente do campo vetorial F(rho, theta, z)=rho^3 rho+rho^3 sin theta theta+3 z^3 cos theta k, em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado em coordenadas cilíndricas: F(rho, theta, z) = rho^3 rho + rho^3 sin theta theta + 3 z^3 cos theta k. Nosso objetivo é calcular o divergente desse campo. Para isso, vamos usar a fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas, que nos ajuda a entender como o campo “espalha” ou “converge” em cada ponto do espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do divergente em coordenadas cilíndricas. Ela é dada por:
div , F = 1rho partial (rho Frho)partial rho + 1rho partial Fthetapartial theta + partial Fzpartial z
Aqui, Frho, Ftheta e Fz são as componentes do campo vetorial F nas direções rho, theta e k, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do campo vetorial F:
  • Frho = rho^3
  • Ftheta = rho^3 sin theta
  • Fz = 3 z^3 cos theta

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais da fórmula do divergente.
Primeiro, calculemos partial (rho Frho)partial rho:
rho Frho = rho cdot rho^3 = rho^4
partial (rho Frho)partial rho = partial (rho^4)partial rho = 4 rho^3

Passo 5

Em seguida, calculamos partial Fthetapartial theta:
Ftheta = rho^3 sin theta
partial Fthetapartial theta = rho^3 cos theta

Passo 6

Por último, calculamos partial Fzpartial z:
Fz = 3 z^3 cos theta
partial Fzpartial z = 9 z^2 cos theta

Passo 7

Agora que temos todas as derivadas, vamos substituir na fórmula do divergente:
div , F = 1rho cdot 4 rho^3 + 1rho cdot rho^3 cos theta + 9 z^2 cos theta

Passo 8

Simplificando cada termo:
1rho cdot 4 rho^3 = 4 rho^2
1rho cdot rho^3 cos theta = rho^2 cos theta
9 z^2 cos theta permanece igual

Passo 9

Juntando tudo:
div , F = 4 rho^2 + rho^2 cos theta + 9 z^2 cos theta

Resposta

O divergente do campo vetorial F é:
div , F = 4 rho^2 + rho^2 cos theta + 9 z^2 cos theta

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