Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
y^prime+2 y=t e^-2 t y(1)=0

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y' + 2,y = t,e^-2t, y(1)=0,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(t) = e^integral 2,dt = e^2t
Multiplicando a equação original por mu(t), obtemos
e^2ty' + 2,e^2ty = t Longrightarrow ddtl(e^2tyr) = t

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^2ty = integral t,dt = t^22 + C,
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y(t) = l(t^22+Cr)e^-2t

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=0:
0 = l(tfrac1^22+Cr)e^-2 Longrightarrow C = -tfrac12
Assim a solução fica
y(t) = 12,(t^2-1),e^-2t

Passo 5

Para esboçar o gráfico de y(t)=tfrac12(t^2-1)e^-2t, observe:
Em t=1 temos y=0.
Para t<1, t^2-1<0, logo y(t)<0.
Para t>1, t^2-1>0 mas o fator e^-2t faz yto0 quando ttoinfty.
O ponto de máximo ocorre resolvendo y'=0, isto é t=(1+raiz5)/2, com valor máximo cerca de 0,032.
O gráfico parte negativo, cruza em t=1, atinge um pequeno pico positivo em tapprox1,618 e depois decai exponencialmente a zero.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t) = 12,(t^2-1),e^-2t,
cujo gráfico apresenta sinal negativo em t<1, cruza o eixo em t=1, tem máximo em t=(1+raiz5)/2 e decai para zero à medida que ttoinfty.

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