Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Passo 1
O enunciado apresenta o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante.
Passo 2
Calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Passo 3
Integramos ambos os lados em relação a
:
logo
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
:
Assim a solução fica
Passo 5
Para esboçar o gráfico de
, observe:
Em temos
.
Para ,
, logo
.
Para ,
mas o fator
faz
quando
.
O ponto de máximo ocorre resolvendo , isto é
, com valor máximo cerca de
.
O gráfico parte negativo, cruza em , atinge um pequeno pico positivo em
e depois decai exponencialmente a zero.
Em
Para
Para
O ponto de máximo ocorre resolvendo
O gráfico parte negativo, cruza em
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
cujo gráfico apresenta sinal negativo em
, cruza o eixo em
, tem máximo em
e decai para zero à medida que
.