Calcule o rotacional do campo vetorial F(rho, theta, z)=rho^2 rho+rho^2 cos theta theta+3 z^2 sin theta k, em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o rotacional do campo vetorial F(rho, theta, z) = rho^2 rho + rho^2 cos theta theta + 3 z^2 sin theta k em coordenadas cilíndricas. O rotacional é uma operação que nos ajuda a entender a “giro” de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas e aplicar as derivadas parciais correspondentes a cada componente do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas. Se tivermos um campo vetorial F = Frho rho + Ftheta theta + Fz z, o rotacional é dado por:
rot , F = ( 1rho ( partial Fzpartial theta - partial Fthetapartial z ) ) rho + ( partial Frhopartial z - partial Fzpartial rho ) theta + ( 1rho ( partial (rho Ftheta)partial rho - partial Frhopartial theta ) ) z
Vamos identificar cada componente do nosso campo F:
Frho = rho^2, Ftheta = rho^2 cos theta, Fz = 3 z^2 sin theta

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas necessárias para encontrar o rotacional. Começamos pela componente rho:
partial Fzpartial theta = partialpartial theta(3 z^2 sin theta) = 3 z^2 cos theta
partial Fthetapartial z = partialpartial z(rho^2 cos theta) = 0 (pois não há z em Ftheta) ãá
Então, a componente rho fica:
( 1rho (3 z^2 cos theta - 0) ) rho = 3 z^2 cos thetarho rho

Passo 4

Vamos agora para a componente theta:
partial Frhopartial z = partialpartial z(rho^2) = 0 (pois não há z em Frho) ãá
partial Fzpartial rho = partialpartial rho(3 z^2 sin theta) = 0 (pois não há rho em Fz) ãá
Assim, a componente theta fica:
( 0 - 0 ) theta = 0 theta

Passo 5

Por último, vamos calcular a componente z:
partial (rho Ftheta)partial rho = partialpartial rho(rho cdot rho^2 cos theta) = partialpartial rho(rho^3 cos theta) = 3 rho^2 cos theta
partial Frhopartial theta = partialpartial theta(rho^2) = 0 (pois não há theta em Frho) ãá
Então, a componente z fica:
( 1rho (3 rho^2 cos theta - 0) ) z = 3 rho^2 cos thetarho z = 3 rho cos theta z

Resposta

Portanto, o rotacional do campo vetorial F em coordenadas cilíndricas é:
rot , F = 3 z^2 cos thetarho rho + 0 theta + 3 rho cos theta z
Ou simplificando:
rot , F = 3 z^2 cos thetarho rho + 3 rho cos theta z

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