( 30 pontos) Encontre a solução da EDO abaixo:
y(x+y+1) d x+(x+2 y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que a gente recebeu. O enunciado pede para encontrar a solução da seguinte EDO:
y(x+y+1) , dx + (x + 2y) , dy = 0
Aqui, estamos lidando com uma EDO que envolve funções de x e y . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações exatas e fatores integrantes, que são ferramentas que nos ajudam a resolver EDOs desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam dx e dy na equação. Vamos chamar:
M(x, y) = y(x + y + 1)
N(x, y) = x + 2y
Assim, nossa EDO fica na forma:
M , dx + N , dy = 0

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x :
partial Mpartial y = x + 2y + 1
partial Npartial x = 1
Se essas derivadas forem iguais, a equação é exata. Nesse caso:
partial Mpartial y = x + 2y + 1 neq partial Npartial x = 1
Como não são iguais, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Um fator integrante pode depender apenas de x ou apenas de y . Vamos tentar encontrar um fator que dependa de y .
O fator integrante mu(y) satisfaz a seguinte condição:
partial Mpartial y - partial Npartial xN = (x + 2y + 1) - 1x + 2y = x + 2yx + 2y = 1
Esse resultado é constante e depende apenas de y , então podemos integrar para encontrar mu(y) :
mu(y) = e^integral 1 , dy = e^y

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(y) = e^y :
e^y cdot y(x + y + 1) , dx + e^y cdot (x + 2y) , dy = 0
Agora, a nova equação é exata porque escolhemos o fator integrante justamente para isso.

Passo 6

Com a equação exata, podemos encontrar uma função potencial F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = e^y cdot y(x + y + 1)
Integrando em relação a x :
F(x, y) = integral e^y cdot y(x + y + 1) , dx = e^y cdot y ( x^22 + yx + x ) + h(y)
Onde h(y) é uma função que depende apenas de y .

Passo 7

Para determinar h(y) , calculamos a derivada parcial de F(x, y) em relação a y e igualamos a e^y cdot (x + 2y) :
partial Fpartial y = e^y cdot y ( x^22 + yx + x ) + e^y cdot ( x^22 + yx + x ) + h'(y) = e^y cdot (x + 2y)
Resolvendo para h'(y) :
h'(y) = 0
Integrando:
h(y) = C
Onde C é uma constante.

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
e^y cdot y ( x^22 + yx + x ) = C
Onde C é uma constante arbitrária.

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