( 30 pontos) Encontre a solução da EDO abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que a gente recebeu. O enunciado pede para encontrar a solução da seguinte EDO:
Aqui, estamos lidando com uma EDO que envolve funções de
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações exatas e fatores integrantes, que são ferramentas que nos ajudam a resolver EDOs desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
na equação. Vamos chamar:
Assim, nossa EDO fica na forma:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Se essas derivadas forem iguais, a equação é exata. Nesse caso:
Como não são iguais, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Um fator integrante pode depender apenas de
ou apenas de
. Vamos tentar encontrar um fator que dependa de
.
O fator integrante
satisfaz a seguinte condição:
Esse resultado é constante e depende apenas de
, então podemos integrar para encontrar
:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a nova equação é exata porque escolhemos o fator integrante justamente para isso.
Passo 6
Com a equação exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Para determinar
, calculamos a derivada parcial de
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo para
:
Integrando:
Onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária.