O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro logo depois de ele ter bebido uma considerável quantia de cachaça. Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula N(t)=2 (0,5)^t, onde té o tempo medido em horas a partir do momento em que o nível é constatado. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo, se o limite permitido de álcool no sangue, para dirigir com segurança, é de 0,8 grama por litro?

Passo 1

O enunciado fala de um motorista cujo nível de álcool no sangue, logo após beber, é de 2 g/L e decai exponencialmente segundo
N(t) = 2 cdot (0,5)^t,
onde t está em horas. Queremos o tempo mínimo t tal que o nível atinja o valor seguro de 0,8 g/L. O conteúdo envolve decaimento exponencial e uso de logaritmos para resolver (0,5)^t.

Passo 2

Para encontrar t quando N(t)=0,8, montamos a equação
2 cdot (0,5)^t = 0,8
Dividindo ambos os lados por 2, obtenhamos
(0,5)^t = 0,82 = 0,4

Passo 3

Agora aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para isolar t. Lembrando que ln(a^t) = t,ln(a), temos
lnl((0,5)^tr) = ln(0,4) Longrightarrow t ,ln(0,5) = ln(0,4)
Logo,
t = ln(0,4)ln(0,5)

Passo 4

Basta calcular numericamente:
ln(0,4)approx -0,9163, ln(0,5)approx -0,6931,
t approx -0,9163-0,6931approx 1,32 horas
Convertendo em horas e minutos:
1,32 h = 1 h + 0,32cdot60 minapprox 1 h 19 min

Resposta

O motorista deve esperar aproximadamente 1,32 h, ou seja, cerca de 1 hora e 19 minutos antes de dirigir.

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