A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo seguinte modelo matemático h(t)=0,10+(1,3)^t+1, onde h(t) em metros e t em anos. Determine o tempo transcorrido do momento da plantação até o do corte de uma das árvores que foi cortada quando o tronco atingiu a altura de 3,5 metros.

Passo 1

O enunciado dá o modelo de crescimento da altura média do tronco
h(t)=0,10+(1,3)^t+1,
em que h(t) está em metros e t em anos, e pede o tempo t tal que h(t)=3,5. Para resolver, precisamos usar propriedades de funções exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Igualando h(t) a 3,5 e isolando o termo exponencial, temos
(1,3)^t+1=3,5-0,10=3,4

Passo 3

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados. Lembrando que se a^x=b então x=ln(b)/ln(a), obtemos
t+1 = ln(3,4)ln(1,3)

Passo 4

Isolando t,
t = ln(3,4)ln(1,3) - 1
Calculando numericamente:
ln(3,4)approx1,229 e ln(1,3)approx0,262, logo
t approx 1,2290,262 - 1 approx 4,69 - 1 = 3,69 anos
Convertendo 0,69 ano em meses: 0,69times12approx8,3 meses (cerca de 8 meses).

Resposta

O tronco atingiu 3,5 m após aproximadamente 3,7 anos, ou seja, cerca de 3 anos e 8 meses.

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