(30 pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse probleminha de equação diferencial de valor inicial que você me enviou. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e como encontrar uma solução que satisfaça a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar nossa análise. A equação dada pode ser escrita na forma:
Onde:
Nessa forma, se a equação for exata, significa que existe uma função
tal que:
Vamos verificar se a equação é exata.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais cruzadas e ver se elas são iguais. Ou seja, calcular:
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Como
, a equação é exata. Isso significa que podemos encontrar uma função
tal que
.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função
. Para isso, integrando
em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
-
(já que é tratado como constante em relação a ) -
: aqui fazemos uma substituição. Seja , então , o que implica .
Então, juntando tudo:
Passo 5
Agora, para encontrar
, usamos a segunda condição da exatidão:
Calculando
:
Comparando com
:
Daí, vemos que:
Como a constante
já está incluída na função
, podemos desconsiderá-la.
Então, a função potencial completa é:
Passo 6
A solução geral da equação exata é dada por
, onde
é uma constante.
Então:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Passo 7
Aplicando a condição inicial
:
Substituindo
e
na equação:
Passo 8
Agora, substituímos
na equação geral para obter a solução específica:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada que satisfaz a condição inicial
.
Resposta
A solução da equação diferencial dada com a condição inicial
é: