(30 pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial :
(e^2 y-y cos x y)+(2 x e^2 y-x cos x y+2 y) y^prime=0, y(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse probleminha de equação diferencial de valor inicial que você me enviou. A equação que temos é:
(e^2 y - y cos(x y)) + (2 x e^2 y - x cos(x y) + 2 y) y' = 0, y(0) = 2
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e como encontrar uma solução que satisfaça a condição inicial y(0) = 2 .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar nossa análise. A equação dada pode ser escrita na forma:
M(x, y) + N(x, y) y' = 0
Onde:
M(x, y) = e^2 y - y cos(x y)
N(x, y) = 2 x e^2 y - x cos(x y) + 2 y
Nessa forma, se a equação for exata, significa que existe uma função Phi(x, y) tal que:
partial Phipartial x = M(x, y)
partial Phipartial y = N(x, y)
Vamos verificar se a equação é exata.

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais cruzadas e ver se elas são iguais. Ou seja, calcular:
partial Mpartial y e partial Npartial x
Primeiro, vamos calcular partial Mpartial y :
M(x, y) = e^2 y - y cos(x y)
partial Mpartial y = 2 e^2 y - cos(x y) - y (-sin(x y) cdot x) = 2 e^2 y - cos(x y) + x y sin(x y)
Agora, vamos calcular partial Npartial x :
N(x, y) = 2 x e^2 y - x cos(x y) + 2 y
partial Npartial x = 2 e^2 y - cos(x y) + x y sin(x y) + 0 = 2 e^2 y - cos(x y) + x y sin(x y)
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é exata. Isso significa que podemos encontrar uma função Phi(x, y) tal que dPhi = M dx + N dy .

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função Phi(x, y) . Para isso, integrando M(x, y) em relação a x :
Phi(x, y) = integral M(x, y) , dx + g(y)
Phi(x, y) = integral (e^2 y - y cos(x y)) dx + g(y)
Vamos integrar termo a termo:
  1. integral e^2 y dx = e^2 y x + C (já que e^2 y é tratado como constante em relação a x )
  2. integral -y cos(x y) dx : aqui fazemos uma substituição. Seja u = x y , então du = y dx , o que implica dx = duy .
integral -y cos(x y) dx = -y cdot sin(x y)y + C = -sin(x y) + C
Então, juntando tudo:
Phi(x, y) = e^2 y x - sin(x y) + g(y)

Passo 5

Agora, para encontrar g(y) , usamos a segunda condição da exatidão:
partial Phipartial y = N(x, y)
Calculando partial Phipartial y :
partial Phipartial y = 2 e^2 y x - x cos(x y) + g'(y)
Comparando com N(x, y) :
2 e^2 y x - x cos(x y) + g'(y) = 2 x e^2 y - x cos(x y) + 2 y
Daí, vemos que:
g'(y) = 2 y Rightarrow g(y) = y^2 + C
Como a constante C já está incluída na função Phi , podemos desconsiderá-la.
Então, a função potencial completa é:
Phi(x, y) = e^2 y x - sin(x y) + y^2

Passo 6

A solução geral da equação exata é dada por Phi(x, y) = C , onde C é uma constante.
Então:
e^2 y x - sin(x y) + y^2 = C
Agora, usamos a condição inicial y(0) = 2 para encontrar o valor de C .

Passo 7

Aplicando a condição inicial y(0) = 2 :
Substituindo x = 0 e y = 2 na equação:
e^2 cdot 2 cdot 0 - sin(0 cdot 2) + 2^2 = C
0 - 0 + 4 = C
C = 4

Passo 8

Agora, substituímos C = 4 na equação geral para obter a solução específica:
e^2 y x - sin(x y) + y^2 = 4
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada que satisfaz a condição inicial y(0) = 2 .

Resposta

A solução da equação diferencial dada com a condição inicial y(0) = 2 é:
e^2 y x - sin(x y) + y^2 = 4

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