[30 pontos] (a) Encontre a solução do problema de valor inicial,
Determine para que valor de
a solução tende a zero quando
.
(b) Use o método que achar mais conveniente para encontrar uma solução particular da equação diferencial não homogênea
(c) Encontre uma solução geral da e.d.o do item (b).
(b) Use o método que achar mais conveniente para encontrar uma solução particular da equação diferencial não homogênea
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Na parte (a) precisamos resolver o problema de valor inicial
e achar para qual
a solução tende a zero quando
. Nas partes (b) e (c) aparece a equação não homogênea
para a qual vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para obter uma solução particular e, em seguida, escrever a solução geral.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea
A equação característica é
cuja solução é
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Calculamos
e impomos as condições iniciais:
Em
temos
Resolvendo esse sistema, somando as duas equações vem
e então
Portanto
Passo 4
Para que
quando
, é preciso anular o termo em
, isto é,
Com
a solução fica
que de fato tende a zero quando
.
Passo 5
Agora resolvemos
por coeficientes indeterminados. Como
corresponde à raiz
da característica de multiplicidade 1, tentamos
Passo 6
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Para esse termo valer
é preciso
, ou seja
Logo
Passo 7
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
(a) A solução do IVP é
e para que
quando
precisamos de
, obtendo
.
(b) Uma solução particular é
(b) Uma solução particular é
(c) A solução geral da eq. não homogênea é