[30 pontos] (a) Encontre a solução do problema de valor inicial,
y^prime prime(x)-y^prime(x)-2 y(x)=0, y(0)=beta, y^prime(0)=1
Determine para que valor de beta a solução tende a zero quando x infty.
(b) Use o método que achar mais conveniente para encontrar uma solução particular da equação diferencial não homogênea
y^prime prime(x)-y^prime(x)-2 y(x)=4 e^2 x
(c) Encontre uma solução geral da e.d.o do item (b).

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Na parte (a) precisamos resolver o problema de valor inicial
y'' - y' - 2y = 0, y(0)=beta,;y'(0)=1,
e achar para qual beta a solução tende a zero quando xtoinfty. Nas partes (b) e (c) aparece a equação não homogênea
y'' - y' - 2y = 4e^2x,
para a qual vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para obter uma solução particular e, em seguida, escrever a solução geral.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
y'' - y' - 2y = 0
A equação característica é
r^2 - r - 2 = 0,
cuja solução é
r = 1pmraiz1+82 = 2,;-1
Logo a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^-x

Passo 3

Calculamos yh'(x) e impomos as condições iniciais:
yh'(x) = 2C1 e^2x - C2 e^-x
Em x=0 temos
yh(0)=C1 + C2 = beta, yh'(0)=2C1 - C2 = 1
Resolvendo esse sistema, somando as duas equações vem
3C1 = beta + 1 Longrightarrow C1 = beta+13,
e então
C2 = beta - C1 = 2beta - 13
Portanto
y(x) = beta+13,e^2x + 2beta-13,e^-x

Passo 4

Para que y(x)to 0 quando xtoinfty, é preciso anular o termo em e^2x, isto é,
beta+13 = 0 Longrightarrow beta = -1
Com beta=-1 a solução fica
y(x) = -,e^-x,
que de fato tende a zero quando xtoinfty.

Passo 5

Agora resolvemos
y'' - y' - 2y = 4e^2x
por coeficientes indeterminados. Como e^2x corresponde à raiz r=2 da característica de multiplicidade 1, tentamos
yp(x) = A,x,e^2x

Passo 6

Calculamos as derivadas:
yp'(x) = A,e^2x(1 + 2x), yp''(x) = A,e^2x(4x + 4)
Substituindo na equação:
yp'' - yp' - 2yp = A e^2xl[(4x+4) - (1+2x) - 2xr] = A e^2xcdot 3 = 3A,e^2x
Para esse termo valer 4e^2x é preciso 3A = 4, ou seja
A = 43
Logo
yp(x) = 43,x,e^2x

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x + 43,x,e^2x

Resposta

(a) A solução do IVP é
y(x) = beta+13,e^2x + 2beta-13,e^-x,
e para que y(x)to0 quando xtoinfty precisamos de beta=-1, obtendo y(x)=-e^-x.
(b) Uma solução particular é
yp(x) = 43,x,e^2x
(c) A solução geral da eq. não homogênea é
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x + 43,x,e^2x

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