Usando o método das transformadas de Laplace, resolva os problemas de valor inicial:
y^prime prime-4 y^prime+5 y=4 e^3 t ; y(0)=2, y^prime(0)=7

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''-4y'+5y=4e^3t, y(0)=2,;y'(0)=7
usando o método das transformadas de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
Ly'(t)=sY(s)-y(0) e
Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
além de Le^at=1/(s-a).

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados de
y''-4y'+5y=4e^3t obtemos
l(s^2Y(s)-scdot2-7r)-4l(sY(s)-2r)+5Y(s) =4s-3
Agrupando termos em Y(s) e constantes ficamos com
(s^2-4s+5),Y(s);-;2s-7+8;=;4s-3,
isto é
(s^2-4s+5),Y(s);-;2s+1;=;4s-3

Passo 3

Isolando Y(s) temos
Y(s) =4s-3+2s-1s^2-4s+5 =2s^2-7s+7(s-3),(s^2-4s+5)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
2s^2-7s+7(s-3)l(s^2-4s+5r) =As-3+Bs+Cs^2-4s+5
Igualando numeradores e resolvendo o sistema para A,B,C resulta em
A=2, B=0, C=1,
logo
Y(s)=2s-3+1s^2-4s+5

Passo 5

Para inverter usamos que
L^-12/(s-3)=2e^3t e que
s^2-4s+5=(s-2)^2+1 Longrightarrow L^-1!ltfrac1(s-2)^2+1r =e^2tsin t
Portanto
y(t)=2e^3t+e^2tsin t

Resposta

y(t)=2e^3t+e^2tsin t

Exercícios relacionados