Seja C a curva parametrizada por q(t)=(3 cos (t5), 3 sin (t5), 4 t5), t >= 0. Considere as afirmações abaixo:
(I) A curva C está contida no cilindro x^2+y^2=9;
(II) q(t) é uma parametrização por comprimento de arco para C ;
(III) O ponto (-3,3,5 pi) pertence à curva C .
Marque a alternativa correta:
(a) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
(b) Todas as afirmações estão corretas.
(c) Apenas a afirmação I está correta.
(d) Apenas a afirmação III está correta.
(e) Apenas as afirmações I e II estão corretas.

Passo 1

O enunciado dá a curva C parametrizada por
q(t)=l(3cosl(tfract5r),,3sinl(tfract5r),,tfrac4t5r), t>=0,
e pede para verificar:
(I) se C está no cilindro x^2+y^2=9;
(II) se essa é uma parametrização por comprimento de arco (isto é, velocidade constante igual a 1);
(III) se o ponto (-3,3,5pi) pertence a C.

Passo 2

Para (I) calculamos
x^2+y^2 = l(3cos(tfract5)r)^2 + l(3sin(tfract5)r)^2 =9cos^2(tfract5)+9sin^2(tfract5) =9
Logo todo ponto de C satisfaz x^2+y^2=9 e a afirmação (I) é verdadeira.

Passo 3

Para (II) obtemos
q'(t) =l(-3cdottfrac15sin(tfract5),;3cdottfrac15cos(tfract5),;tfrac45r)
e a velocidade
|q'(t)| =raizl(tfrac-35r)^2sin^2(tfract5) +l(tfrac35r)^2cos^2(tfract5) +l(tfrac45r)^2 =raiztfrac925+tfrac1625 =1
Como a velocidade é constante igual a 1, q(t) é parametrização por comprimento de arco e (II) é verdadeira.

Passo 4

Para (III) exigimos
3cos(tfract5)=-3, 3sin(tfract5)=3, tfrac4t5=5pi
Da terceira equação vem t=tfrac25pi4. Da primeira temos cos(tfract5)=-1implies t=5pi+10kpi, kinZ. Da segunda temos sin(tfract5)=1implies t=tfrac5pi2+10mpi, minZ. Não há inteiro k,m que simultaneamente satisfaça
5pi+10kpi ;=;tfrac5pi2+10mpi,
nem essa igualdade coincide com t=tfrac25pi4. Logo não existe t>=0 tal que q(t)=(-3,3,5pi), e (III) é falsa.

Resposta

(e) Apenas as afirmações I e II estão corretas.

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