Seja C a curva parametrizada por
. Considere as afirmações abaixo:
(I) A curva C está contida no cilindro
;
(II)
é uma parametrização por comprimento de arco para C ;
(III) O ponto
pertence à curva C .
Marque a alternativa correta:
(a) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
(b) Todas as afirmações estão corretas.
(c) Apenas a afirmação I está correta.
(d) Apenas a afirmação III está correta.
(e) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
(I) A curva C está contida no cilindro
(II)
(III) O ponto
(a) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
(b) Todas as afirmações estão corretas.
(c) Apenas a afirmação I está correta.
(d) Apenas a afirmação III está correta.
(e) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
Passo 1
O enunciado dá a curva
parametrizada por
e pede para verificar:
(I) se está no cilindro
;
(II) se essa é uma parametrização por comprimento de arco (isto é, velocidade constante igual a 1);
(III) se o ponto pertence a
.
(I) se
(II) se essa é uma parametrização por comprimento de arco (isto é, velocidade constante igual a 1);
(III) se o ponto
Passo 2
Para (I) calculamos
Logo todo ponto de
satisfaz
e a afirmação (I) é verdadeira.
Passo 3
Para (II) obtemos
e a velocidade
Como a velocidade é constante igual a
,
é parametrização por comprimento de arco e (II) é verdadeira.
Passo 4
Para (III) exigimos
Da terceira equação vem
. Da primeira temos
,
. Da segunda temos
,
. Não há inteiro
que simultaneamente satisfaça
nem essa igualdade coincide com
. Logo não existe
tal que
, e (III) é falsa.
Resposta
(e) Apenas as afirmações I e II estão corretas.