(30 pontos) Encontre a solução u(x, y) da equação de Laplace no retângulo 0<x<\pi, 0<y<1
u_{x x}+u_{y y}=0
com condições de contorno
\begin{array}{ll} u(x, 0)=0, \quad u(x, 1)=0, & 0<x<\pi \\\ u(0, y)=0, \quad u(\pi, y)=2 \operatorname{sen} 3 \pi y-4 \operatorname{sen} 5 \pi y, & 0 \leq y \leq 1 . \end{array}

Passo 1

O enunciado pede a solução de
u_{xx}+u_{yy}=0
no retângulo 0<x<\pi\), \(0<y<1\) com condições de contorno \[\begin{cases} u(x,0)=0,\quad u(x,1)=0, & 0<x<\pi,\\\ u(0,y)=0,\quad u(\pi,y)=2\sin(3\pi y)-4\sin(5\pi y), & 0\le y\le1. \end{cases}
O método será separação de variáveis e expansão em série de senos em (y].

Passo 2

Proponho
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo em u_{xx}+u_{yy}=0 e dividindo por X\,Y
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=\lambda.
Como Y(0)=Y(1)=0, temos problema de Sturm–Liouville em y com
\lambda_n=(n\pi)^2, \quad Y_n(y)=\sin(n\pi y), \quad n=1,2,3,\dots

Passo 3

Para cada n, X_n satisfaz
X''_n-(n\pi)^2X_n=0,
cuja solução geral é
X_n(x)=A_n\operatorname{sinh}(n\pi x)+B_n\operatorname{cosh}(n\pi x).
A condição u(0,y)=0 implica X_n(0)=0, logo B_n=0. Portanto
X_n(x)=A_n\operatorname{sinh}(n\pi x).

Passo 4

Assim a solução geral é
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,\operatorname{sinh}(n\pi x)\,\sin(n\pi y).
Na fronteira x=\pi devemos ter
u(\pi,y) =\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,\operatorname{sinh}(n\pi\pi)\,\sin(n\pi y) =2\sin(3\pi y)-4\sin(5\pi y).
Comparando com a série de Fourier em \{\sin(n\pi y)\}, vemos que
A_3\,\operatorname{sinh}(3\pi^2)=2, \quad A_5\,\operatorname{sinh}(5\pi^2)=-4,
e A_n=0 para n\neq3,5.

Passo 5

Logo
A_3=\frac{2}{\operatorname{sinh}(3\pi^2)}, \quad A_5=\frac{-4}{\operatorname{sinh}(5\pi^2)}.

Resposta

\boxed{ u(x,y) =2\,\frac{\operatorname{sinh}(3\pi x)}{\operatorname{sinh}(3\pi^2)}\,\sin(3\pi y) \;-\; 4\,\frac{\operatorname{sinh}(5\pi x)}{\operatorname{sinh}(5\pi^2)}\,\sin(5\pi y). }

Exercícios relacionados