(30 pontos) Encontre a solução
da equação de Laplace no retângulo
com condições de contorno
Passo 1
O enunciado pede a solução de
no retângulo
O método será separação de variáveis e expansão em série de senos em (y].
Passo 2
Proponho
Substituindo em
e dividindo por
dá
Como
, temos problema de Sturm–Liouville em
com
Passo 3
Para cada
,
satisfaz
cuja solução geral é
A condição
implica
, logo
. Portanto
Passo 4
Assim a solução geral é
Na fronteira
devemos ter
Comparando com a série de Fourier em
, vemos que
e
para
.
Passo 5
Logo