Resolva os PVI’s dados usando uma substituição apropriada.
\frac{d y}{d x}=4+\left(\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{x}\right)^{2} \quad y(1)=2

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = 4 + \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) + \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2}
com condição inicial y(1)=2. Como o lado direito depende apenas de y/x, trata-se de uma EDO homogênea, e vamos usar a substituição y = u\,x.

Passo 2

Definindo
u = \frac{y}{x},
temos
y = u\,x \quad\text{e}\quad \frac{dy}{dx} = u + x\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Substituindo na EDO original:
u + x\frac{du}{dx} = 4 + u + u^{2}
logo
x\frac{du}{dx} = 4 + u^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = \frac{4 + u^{2}}{x}.

Passo 4

Separando variáveis e integrando:
\frac{du}{4 + u^{2}} = \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \int \frac{du}{4 + u^{2}} = \int \frac{dx}{x}
\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) = \ln|x| + C.

Passo 5

Multiplicando por 2 e isolando u:
\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) = 2\ln|x| + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad u = 2\tan\!\bigl(2\ln|x| + C_{1}\bigr).

Passo 6

Retornando a y:
y = x\,u = 2x\,\tan\!\bigl(2\ln|x| + C_{1}\bigr).

Passo 7

Aplicando a condição inicial y(1)=2:
2 = 2\cdot1\cdot\tan(C_{1}) \quad\Longrightarrow\quad \tan(C_{1}) = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_{1} = \frac{\pi}{4}.

Passo 8

Substituindo C_{1} na solução e tomando x>0 (para remover o valor absoluto):
y(x) = 2x\,\tan\!\bigl(2\ln x + \tfrac{\pi}{4}\bigr).

Resposta

y(x) = 2x\,\tan\!\bigl(2\ln x + \tfrac{\pi}{4}\bigr).

Exercícios relacionados