Resolva os PVI’s dados usando uma substituição apropriada.
y^{\prime}=\frac{y}{x}+\operatorname{sen}\left(\frac{y}{x}\right) \quad y(1)=\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = \frac{y}{x} + \sin\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr), \quad y(1)=\frac{\pi}{2}.
O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem homogênea (a RHS depende apenas de y/x). Vamos usar a substituição
y = x\,v(x).

Passo 2

Derivando y = x\,v em relação a x, obtemos
y' = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original:
v + x\,\frac{dv}{dx} = \frac{y}{x} + \sin\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = v + \sin(v).
Cancelando v dos dois lados, fica
x\,\frac{dv}{dx} = \sin(v).

Passo 3

Essa equação é separável. Escrevemos
\frac{dv}{\sin(v)} = \frac{dx}{x}
e integramos ambos os lados. Sabendo que
\int \csc(v)\,dv = \ln\bigl|\tan(\tfrac{v}{2})\bigr| + C,
temos
\ln\bigl|\tan(\tfrac{v}{2})\bigr| = \ln|x| + C.

Passo 4

Exponentiando,
\bigl|\tan(\tfrac{v}{2})\bigr| = e^C\,|x|.
Como x>0 no nosso problema, definimos e^C = K>0 e escrevemos
\tan\!\bigl(\tfrac{v}{2}\bigr) = K\,x.
Usando a condição inicial: em x=1, tem-se y(1)=\pi/2, logo
v(1)=\frac{y(1)}{1}=\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \tan\!\bigl(\tfrac{\pi/2}{2}\bigr) =\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1.
Logo K\cdot1=1, isto é, K=1.

Passo 5

Com K=1, ficamos com
\tan\!\bigl(\tfrac{v}{2}\bigr)=x \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{v}{2}=\arctan(x) \quad\Longrightarrow\quad v=2\,\arctan(x).
Como y=x\,v, obtemos a solução explícita
y(x)=2\,x\,\arctan(x).

Resposta

y(x)=2\,x\,\arctan(x).

Exercícios relacionados