Seja f:(0,2) \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \[f(x)= \begin{cases}4 x, & 0<x \leq 1 \\\\ 2, & 1<x<2\end{cases}
(a) ( 5 pontos) Escreva a extensão par de f\] tornando-a de período 4 e faça um esboço do gráfico. (b) ( 10 pontos) Encontre a série de Fourier em cossenos de \(f.
(c) ( 5 pontos) Determine o limite da série encontrada no ítem (b) quando x=1 / 2 e depois quando x=1.

Passo 1

O enunciado dá a função definida em (0,2)\) por \[f(x)= \begin{cases} 4x, & 0<x\le1,\\\\ 2, & 1<x<2. \end{cases}
Pede-se: (a) a extensão par de f\] com período \(4 e o esboço do gráfico; (b) a série de Fourier em cossenos (meia-onda) em (0,2); (c) o valor da soma da série em x=\tfrac12 e em x=1. Para resolver, vamos primeiro construir a função par sobre [-2,2] e depois estendê-la periodicamente de perímetro 4; em seguida usamos as fórmulas de série em cossenos num intervalo de comprimento L=2.

Passo 2

Construção da extensão par e periódica de período 4\). Definimos primeiro, em \([-2,2]\), \[f_e(x)=f(|x|)= \begin{cases} 4|x|, & 0<|x|\le1,\\\\ 2, &1<|x|<2, \end{cases}
de modo que f_e\] é par. Em seguida repetimos esse bloco de comprimento \(4, ou seja, para todo x\in\mathbb R,
f_p(x)=f_e\bigl(x-4k\bigr),
sendo k o inteiro tal que x-4k\in[-2,2].
Esboço do gráfico (no período fundamental [-2,2]):
– de -2 a -1: reta subindo de 2 (em -2) até 4\cdot1=4 (em -1), simétrica de 0<x\le1;
– de -1 a 1: linha em arco de reta de inclinação \pm4 até x=0 e volta em linha reta até \pm1;
– de 1 a 2: constante igual a 2.
E repete-se a cada 4 unidades.

Passo 3

Formulas da meia-onda em cossenos em (0,2).
Se L=2, então a série de Fourier em cossenos de f em (0,2) é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr),
com
a_0=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(t)\,\mathrm dt, \qquad a_n=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(t)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr)\,\mathrm dt.

Passo 4

Cálculo de a_0.
\int_{0}^{2}f(t)\,\mathrm dt =\int_{0}^{1}4t\,\mathrm dt+\int_{1}^{2}2\,\mathrm dt =\Bigl[2t^2\Bigr]_0^1+2\cdot1 =2+2=4,
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a_0=\frac{1}{2}\cdot4=2.

Passo 5

Cálculo geral de a_n.
a_n=\frac{1}{2}\Bigl( \int_{0}^{1}4t\cos(at)\,\mathrm dt +\int_{1}^{2}2\cos(at)\,\mathrm dt \Bigr),
onde a=\tfrac{n\pi}{2}.
Usando integração por partes e tabelas, obtém-se
\int_{0}^{1}4t\cos(at)\,\mathrm dt =4\Bigl(\frac{\sin a}{a}-\frac{1-\cos a}{a^2}\Bigr),
\int_{1}^{2}2\cos(at)\,\mathrm dt =\frac{2}{a}\bigl(\sin(2a)-\sin(a)\bigr).
Então
a_n =2\Bigl(\frac{\sin a}{a}-\frac{1-\cos a}{a^2}\Bigr) +\frac{1}{a}\bigl(\sin(2a)-\sin(a)\bigr).
Substituindo a=\tfrac{n\pi}{2} e usando \sin(2a)=0 quando 2a=n\pi, chega-se a
a_n =\frac{2\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n\pi} -\frac{8\bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\bigr)}{n^2\pi^2}.

Passo 6

Série de Fourier em cossenos final.
f(x)\sim 1 +\sum_{n=1}^\infty \Bigl[ \frac{2\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n\pi} -\frac{8\bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\bigr)}{n^2\pi^2} \Bigr] \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr).

Passo 7

Limite da série em x=\tfrac12.
Como f é contínua em x=\tfrac12 (cai no trecho 4x), o somatório converge a f(\tfrac12)=4\cdot\tfrac12=2.

Passo 8

Limite da série em x=1.
Em x=1 há descontinuidade:
\lim_{x\to1^-}f(x)=4, \lim_{x\to1^+}f(x)=2.
A soma da série num ponto de salto vale a média \tfrac{4+2}{2}=3.

Resposta

(a) A extensão par em [-2,2]\) é \[f_e(x)= \begin{cases} 4|x|, & 0<|x|\le1,\\\\ 2, &1<|x|<2, \end{cases}
repetida com período 4\]. (b) \[f(x)\sim 1 +\sum_{n=1}^\infty \Bigl[ \frac{2\sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)}{n\pi} -\frac{8\left(1-\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)\right)}{n^2\pi^2} \Bigr] \cos\!\left(\tfrac{n\pi x}{2}\right).\] \text{(c)} \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{4}\right)\Big|_{x=\tfrac12}=2,
\quad
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)\Big|_{x=1}=3.

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