Seja
(a) ( 5 pontos) Escreva a extensão par de
.
(c) ( 5 pontos) Determine o limite da série encontrada no ítem (b) quando
e depois quando
.
(c) ( 5 pontos) Determine o limite da série encontrada no ítem (b) quando
Passo 1
O enunciado dá a função definida em
Pede-se: (a) a extensão par de
e o esboço do gráfico; (b) a série de Fourier em cossenos (meia-onda) em
; (c) o valor da soma da série em
e em
. Para resolver, vamos primeiro construir a função par sobre
e depois estendê-la periodicamente de perímetro
; em seguida usamos as fórmulas de série em cossenos num intervalo de comprimento
.
Passo 2
Construção da extensão par e periódica de período
de modo que
, ou seja, para todo
,
sendo
o inteiro tal que
.
Esboço do gráfico (no período fundamental
):
– de a
: reta subindo de
(em
) até
(em
), simétrica de
;
– de a
: linha em arco de reta de inclinação
até
e volta em linha reta até
;
– de a
: constante igual a
.
E repete-se a cada unidades.
– de
– de
– de
E repete-se a cada
Passo 3
Formulas da meia-onda em cossenos em
.
Se , então a série de Fourier em cossenos de
em
é
Se
com
Passo 4
Cálculo de
.
logo
Passo 5
Cálculo geral de
.
onde
.
Usando integração por partes e tabelas, obtém-se
Usando integração por partes e tabelas, obtém-se
Então
Substituindo
e usando
quando
, chega-se a
Passo 6
Série de Fourier em cossenos final.
Passo 7
Limite da série em
.
Como é contínua em
(cai no trecho
), o somatório converge a
.
Como
Passo 8
Limite da série em
.
Em há descontinuidade:
,
.
A soma da série num ponto de salto vale a média .
Em
A soma da série num ponto de salto vale a média
Resposta
(a) A extensão par em
repetida com período
\quad
\quad