Dada f(x)=e^{x^{2}-4 x+4} \cos \left(\frac{\pi}{2} x\right), o valor de f^{\prime}(2) é:
a) 1 .
b) 0 .
c) -4 e^{4}.
d) 4 e^{4}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{x^{2}-4x+4}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)
e pede f'(2). O conteúdo é derivada de produto, usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Observe que
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2},
então podemos reescrever
f(x)=e^{(x-2)^{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr).

Passo 3

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{(x-2)^{2}}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr) +e^{(x-2)^{2}}\frac{d}{dx}\!\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\Bigr].
Pela cadeia, \frac{d}{dx}e^{(x-2)^{2}}=2(x-2)e^{(x-2)^{2}}. E
\frac{d}{dx}\cos\!(\tfrac{\pi}{2}x)=-\tfrac{\pi}{2}\sin\!(\tfrac{\pi}{2}x).
Logo
f'(x) =e^{(x-2)^{2}}\Bigl[2(x-2)\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr) -\tfrac{\pi}{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\Bigr].

Passo 4

Agora avalia em x=2. Temos (x-2)^{2}=0 então e^{0}=1, e \sin(\pi)=0. Além disso x-2=0. Portanto
f'(2)=1\bigl[2\cdot0\cdot\cos(\pi)-\tfrac{\pi}{2}\cdot0\bigr]=0.

Resposta

b) 0.

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