A população P(t) de uma colônia de bactérias t horas depois de iniciada uma observação está variando a uma taxa dada por: \frac{d P}{d t}=200 \cdot e^{0,1 t}+150 \cdot e^{-0,03 t}. Se a população era de 2000 bactérias quando a observação começou, qual será a população depois de 12 h ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: a população P(t) satisfaz a equação diferencial
\frac{dP}{dt} = 200\,e^{0,1t} + 150\,e^{-0,03t}
com condição inicial P(0)=2000. O conteúdo que vamos usar é integração de funções exponenciais e aplicação de condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Integramos a taxa de variação para obter a solução geral. Como
\int e^{at}\,dt = \frac{1}{a}e^{at},
temos
\int 200\,e^{0,1t}\,dt = 200\cdot\frac{1}{0,1}e^{0,1t} = 2000\,e^{0,1t},
\int 150\,e^{-0,03t}\,dt = 150\cdot\frac{1}{-0,03}e^{-0,03t} = -5000\,e^{-0,03t}.
Logo, a solução geral é
P(t) = 2000\,e^{0,1t} - 5000\,e^{-0,03t} + C.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial P(0)=2000. Substituindo t=0 em
P(0) = 2000 - 5000 + C = 2000
vemos que -3000 + C = 2000, portanto
C = 5000.
Assim a solução particular fica
P(t) = 2000\,e^{0,1t} - 5000\,e^{-0,03t} + 5000.

Passo 4

Para encontrar P(12) basta substituir t=12:
P(12) = 2000\,e^{1,2} - 5000\,e^{-0,36} + 5000.
Calculando numericamente e^{1,2}\approx 3{,}3201 e e^{-0,36}\approx 0{,}6977, obtemos
P(12)\approx 2000\cdot3{,}3201 - 5000\cdot0{,}6977 + 5000 \approx 8151{,}85.

Resposta

A população após 12 h será aproximadamente 8152 bactérias.

Exercícios relacionados