(30 pontos) Resolva a seguinte equação diferencial:
(cos x sin x-x y^2)+y(1-x^2) y^prime=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver a equação diferencial
(cos xsin x - x,y^2) ;+; y,(1 - x^2);y' ;=;0
O conteúdo aqui é “equação diferencial de primeira ordem exata”.
Pra resolver, a gente vai:
  1. identificar M(x,y) e N(x,y),
  2. checar se é exata ( partial M/partial y = partial N/partial x),
  3. achar uma função potencial F(x,y) tal que Fx=M e Fy=N,
  4. montar a solução implícita F(x,y)=C.

Passo 2

Primeiro extraímos
M(x,y)=cos xsin x - x,y^2, N(x,y)=y,(1 - x^2)
Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -2x,y, partial Npartial x = y,ddx(1 - x^2) = y,(-2x) = -2x,y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe F(x,y) com
partial Fpartial x = M(x,y) = cos xsin x - x,y^2
Integramos em x, tratando y como constante:
F(x,y) = integral cos xsin x;dx ;-; integral x,y^2;dx + h(y)
  • integral cos xsin x,dx = sin^2x2
  • integral x,y^2,dx = y^2;x^22
    Então
F(x,y) = sin^2x2 - y^2,x^22 + h(y)

Passo 4

Agora exigimos partial F/partial y = N(x,y):
partial Fpartial y = -x^2,2y2 + h'(y) = -x^2,y + h'(y)
tem que ser igual a
N(x,y)=y,(1 - x^2)=y - x^2,y
Comparando,
-,x^2,y + h'(y) = y - x^2,y Longrightarrow h'(y)=y ;Longrightarrow; h(y)=y^22
Então
F(x,y) = sin^2x2 - x^2,y^22 + y^22

Passo 5

A solução geral fica na forma implícita
F(x,y)=C ;Longrightarrow; sin^2x2 - x^2,y^22 + y^22 = C
Multiplicando tudo por 2 pra ficar mais limpo:
sin^2x ;+; y^2,(1 - x^2) = C'

Resposta

A solução geral da equação é
boxedsin^2x + (1 - x^2),y^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

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