(30 pontos) Resolva a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra resolver a equação diferencial
O conteúdo aqui é “equação diferencial de primeira ordem exata”.
Pra resolver, a gente vai:
Pra resolver, a gente vai:
- identificar
e , - checar se é exata (
), - achar uma função potencial
tal que e , - montar a solução implícita
.
Passo 2
Primeiro extraímos
Agora calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe
com
Integramos em
, tratando
como constante:
-
-
Então
Passo 4
Agora exigimos
:
tem que ser igual a
Comparando,
Então
Passo 5
A solução geral fica na forma implícita
Multiplicando tudo por 2 pra ficar mais limpo:
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é constante arbitrária.