Calcule o gradiente do campo escalar f(r, theta, phi)=r^2+r^3 cos ^3 theta+3 sin phi, em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente de um campo escalar dado em coordenadas esféricas. O campo escalar é f(r, theta, phi) = r^2 + r^3 cos^3 theta + 3 sin phi .
Para isso, vamos usar a definição do gradiente em coordenadas esféricas, que nos ajuda a encontrar como o campo muda em cada direção (radial, polar e azimutal).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do gradiente em coordenadas esféricas. O gradiente de uma função f(r, theta, phi) é dado por:
nabla f = partial fpartial r er + 1r partial fpartial theta etheta + 1r sin theta partial fpartial phi ephi
Aqui, er , etheta e ephi são os vetores unitários nas direções radial, polar e azimutal, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada parcial de f em relação a r :
partial fpartial r = partialpartial r ( r^2 + r^3 cos^3 theta + 3 sin phi ) = 2r + 3r^2 cos^3 theta

Passo 4

Agora, a derivada parcial de f em relação a theta :
partial fpartial theta = partialpartial theta ( r^2 + r^3 cos^3 theta + 3 sin phi ) = r^3 cdot 3 cos^2 theta cdot (-sin theta) = -3r^3 cos^2 theta sin theta

Passo 5

Por último, a derivada parcial de f em relação a phi :
partial fpartial phi = partialpartial phi ( r^2 + r^3 cos^3 theta + 3 sin phi ) = 3 cos phi

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo na fórmula do gradiente:
nabla f = (2r + 3r^2 cos^3 theta) er + 1r (-3r^3 cos^2 theta sin theta) etheta + 1r sin theta (3 cos phi) ephi

Passo 7

Simplificando cada termo:
Para o componente radial:
2r + 3r^2 cos^3 theta
Para o componente polar:
-3r^3 cos^2 theta sin thetar = -3r^2 cos^2 theta sin theta
Para o componente azimutal:
3 cos phir sin theta

Passo 8

Portanto, o gradiente do campo escalar f em coordenadas esféricas é:
nabla f = (2r + 3r^2 cos^3 theta) er - 3r^2 cos^2 theta sin theta , etheta + 3 cos phir sin theta ephi

Resposta

O gradiente do campo escalar f(r, theta, phi) = r^2 + r^3 cos^3 theta + 3 sin phi em coordenadas esféricas é:
nabla f = (2r + 3r^2 cos^3 theta) er - 3r^2 cos^2 theta sin theta , etheta + 3 cos phir sin theta ephi

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