Calcule o gradiente do campo escalar
, em coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente de um campo escalar dado em coordenadas esféricas. O campo escalar é
.
Para isso, vamos usar a definição do gradiente em coordenadas esféricas, que nos ajuda a encontrar como o campo muda em cada direção (radial, polar e azimutal).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do gradiente em coordenadas esféricas. O gradiente de uma função
é dado por:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções radial, polar e azimutal, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Por último, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos juntar tudo na fórmula do gradiente:
Passo 7
Simplificando cada termo:
Para o componente radial:
Para o componente polar:
Para o componente azimutal:
Passo 8
Portanto, o gradiente do campo escalar
em coordenadas esféricas é:
Resposta
O gradiente do campo escalar
em coordenadas esféricas é: