Resolva o problema de valor inicial:
y^prime+y=2 x ; y=-1 quando x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' + y = 2x, y(0) = -1
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, calculamos o fator integrante mu(x) associado ao termo y:
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x
Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
(y' + y)e^x = 2x,e^x

Passo 3

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto y,e^x:
ddxl(y,e^xr) = (y' + y),e^x
Logo, a equação fica
ddxl(y,e^xr) = 2x,e^x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(y,e^xr),dx = integral 2x,e^x,dx ;Longrightarrow; y,e^x = 2integral x,e^x,dx + C
Para calcular integral x,e^x,dx, usamos integração por partes ou conhecemos o resultado
integral x,e^x,dx = (x-1),e^x + const
Portanto
2integral x,e^x,dx = 2(x-1),e^x + C,
e obtemos
y,e^x = 2(x-1),e^x + C

Passo 5

Isolando y, vem
y = 2(x-1) + C,e^-x
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=-1:
-1 = 2(0-1) + C,e^0 = -2 + C ;Longrightarrow; C = 1

Resposta

Substituindo C=1, a solução do problema de valor inicial é
y(x) = 2(x-1) + e^-x ou y(x) = 2x - 2 + e^-x

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