(30 pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação, encontrar um fator integrante e aplicar a condição inicial para descobrir a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. Isso significa que queremos isolar
. Dividindo todos os termos por 2:
Agora, temos a equação na forma:
onde
e
.
Passo 3
Em seguida, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma o lado esquerdo em uma derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição:
Seja
, então
, ou
.
Portanto,
Passo 6
Assim, temos:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Substituindo
e
:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: