(30 pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial :
2 d yd x+4 x y=2 x, y(0)=-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado é:
2 d yd x + 4 x y = 2 x, y(0) = -3
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação, encontrar um fator integrante e aplicar a condição inicial para descobrir a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. Isso significa que queremos isolar d yd x. Dividindo todos os termos por 2:
d yd x + 2 x y = x
Agora, temos a equação na forma:
d yd x + P(x) y = Q(x)
onde P(x) = 2x e Q(x) = x.

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = 2x:
mu(x) = e^integral 2x , dx = e^x^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x):
e^x^2 cdot d yd x + e^x^2 cdot 2x y = e^x^2 cdot x
Isso simplifica para:
dd x( e^x^2 y ) = x e^x^2
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma o lado esquerdo em uma derivada do produto mu(x) y.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
integral dd x( e^x^2 y ) dx = integral x e^x^2 dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^x^2 y. Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição:
Seja u = x^2, então du = 2x dx, ou du2 = x dx .
Portanto,
integral x e^x^2 dx = 12 integral e^u du = 12 e^u + C = 12 e^x^2 + C

Passo 6

Assim, temos:
e^x^2 y = 12 e^x^2 + C
Para isolar y, dividimos ambos os lados por e^x^2:
y = 12 + C e^-x^2

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = -3 para encontrar o valor de C:
Substituindo x = 0 e y = -3:
-3 = 12 + C e^0 Rightarrow -3 = 12 + C cdot 1 Rightarrow C = -3 - 12 = -72

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(x) = 12 - 72 e^-x^2

Exercícios relacionados