Questão 2: Determine os seguintes limites, se existirem.
lim x 2 x^2-3 x+2x^2-4 x+4

Passo 1

Vamos resolver um limite que aparece em cálculo. A questão pede para encontrar o limite de x^2-3x+2x^2-4x+4 quando x se aproxima de 2. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de fatoração e entender como os limites funcionam quando resultam em formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 2 diretamente na expressão para ver o que acontece:
2^2 - 3 times 2 + 22^2 - 4 times 2 + 4 = 4 - 6 + 24 - 8 + 4 = 00
Encontramos uma forma indeterminada 00, o que nos indica que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
Começando pelo numerador x^2 - 3x + 2:
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Agora, fatorando o denominador x^2 - 4x + 4:
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
(x - 1)(x - 2)(x - 2)^2 = x - 1x - 2
Agora, podemos simplificar a expressão cancelando um (x - 2) no numerador e no denominador.

Passo 5

Com a expressão simplificada x - 1x - 2, vamos novamente tentar substituir x = 2:
2 - 12 - 2 = 10
Essa substituição nos mostra que o denominador se aproxima de zero, enquanto o numerador se aproxima de 1. Isso indica que o limite tende para infinito.

Resposta

O limite lim x 2 x^2-3x+2x^2-4x+4 não existe porque a expressão tende para infinito.

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