[5,0 pontos]
Use o teorema do confronto para mostrar que: lim x 0 raiz[3]x e^sen(pix)=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0raiz[3]x,e^sen!l(tfracpixr)
usando o Teorema do Confronto. Vamos precisar de duas ideias principais: (i) a função sen fica entre -1 e 1, e (ii) o exponencial é crescente. Além disso, como o produto pode mudar de sinal para x<0, é conveniente trabalhar com o valor absoluto da expressão.

Passo 2

Primeiro, lembremos que para todo tinR vale
-1 ;<=;sen(t);<= 1
Como a função exp(u)=e^u é estritamente crescente em u, conseguimos o encadeamento
e^-1;<=;e^sen(t);<=;e^1=e
Em particular, para t=tfracpix esta desigualdade continua valendo:
e^-1;<=;e^sen!l(tfracpixr);<=;e

Passo 3

Agora considere
f(x)=raiz[3]x,e^sen!l(tfracpixr)
Para lidar com o sinal de raiz[3]x basta olhar para o valor absoluto:
l|f(x)r| =l|raiz[3]xr|;e^sen!l(tfracpixr) =|x|^1/3;e^sen!l(tfracpixr)
Usando o limite superior e^sen(pi/x)<= e obtemos o majorante
l|f(x)r|;<=;|x|^1/3,e

Passo 4

Note que a função g(x)=e,|x|^1/3 satisfaz
limxto 0g(x) =limxto 0e,|x|^1/3 =ecdot 0 =0

Passo 5

Como
0;<=;l|f(x)r|;<=;g(x) e limxto 0g(x)=0,
o Teorema do Confronto implica
limxto 0l|f(x)r|=0 Longrightarrow limxto 0f(x)=0

Resposta

0

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