pontos]
Use o teorema do confronto para mostrar que: .
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema do Confronto. Vamos precisar de duas ideias principais: (i) a função fica entre e , e (ii) o exponencial é crescente. Além disso, como o produto pode mudar de sinal para , é conveniente trabalhar com o valor absoluto da expressão.
Passo 2
Primeiro, lembremos que para todo vale
Como a função é estritamente crescente em , conseguimos o encadeamento
Em particular, para esta desigualdade continua valendo:
Passo 3
Agora considere
Para lidar com o sinal de basta olhar para o valor absoluto:
Usando o limite superior e^sen(pi/x)<= e obtemos o majorante