Resolva os seguintes problemas:
Encontre L^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+9}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de \tfrac{1}{s^{2}+9}. Isso é conteúdo de transformada de Laplace e vamos precisar usar a tabela básica de transformadas, em particular a que envolve a função seno.

Passo 2

Da tabela de transformadas, sabemos que
\mathcal{L}\{\sin(at)\} = \frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui queremos inverter \tfrac{1}{s^{2}+9}. Observe que, para a=3,
\frac{1}{s^{2}+9} =\frac{1}{s^{2}+3^{2}} =\frac{1}{3}\,\frac{3}{s^{2}+3^{2}} =\frac{1}{3}\,\mathcal{L}\{\sin(3t)\}.
Portanto,
\mathcal{L}^{-1}\!\Big\{\frac{1}{s^{2}+9}\Big\} =\frac{1}{3}\,\sin(3t).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\sin(3t)

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