( 30 pts ) Considere o sistema linear de equações
\begin{cases}x_{1}+2 x_{2}+x_{3} & =3 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+(v-2) x_{3} & =v \\\ x_{1}+5 x_{2}+(6-w) x_{3} & =3\end{cases}
nas variáveís x_{1}, x_{2} e x_{3}. Determine
(a) (20 pts) Os valores de v e w para que o sistema seja consistente e possua infinitas soluções.
(b) ( 10 pts ) Considerando os valores de v e w calculados no item anterior. Determine a solução geral do sistema.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear em (x_{1},x_{2},x_{3}) com parâmetros v e w:
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+x_{3}=3,\\\\ 2x_{1}+x_{2}+(v-2)x_{3}=v,\\\ x_{1}+5x_{2}+(6-w)x_{3}=3. \end{cases}
O conteúdo envolve eliminação de Gauss e estudo de consistência (posto da matriz dos coeficientes versus posto da matriz aumentada) para obter infinitas soluções.

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss, subtraímos 2 vezes a primeira equação da segunda e 1 vez da terceira, obtendo o sistema equivalente
\begin{aligned} x_{1}+2x_{2}+x_{3}&=3,\\\\ -3x_{2}+(v-4)x_{3}&=v-6,\\\\ 3x_{2}+(5-w)x_{3}&=0. \end{aligned}
Em seguida, somando a segunda e a terceira equações para eliminar x_{2}, reduzimos à forma
\begin{aligned} x_{1}+2x_{2}+x_{3}&=3,\\\\ -3x_{2}+(v-4)x_{3}&=v-6,\\\ (v+1-w)x_{3}&=v-6. \end{aligned}

Passo 3

Para o sistema ter infinitas soluções, o posto da matriz dos coeficientes deve ser 2 e a terceira equação deve passar a ser 0=0. Logo
v+1-w=0
e
v-6=0.
Da segunda equação obtemos v=6. Substituindo em v+1-w=0 6+1-w=0, ou seja w=7.

Passo 4

Tomando v=6 e w=7, o sistema escalonado fica
\begin{aligned} x_{1}+2x_{2}+x_{3}&=3,\\\\ -3x_{2}+2x_{3}&=0,\\\\ 0&=0. \end{aligned}
Introduzimos o parâmetro x_{3}=t. Da segunda equação,
-3x_{2}+2t=0\quad\Longrightarrow\quad x_{2}=\tfrac{2}{3}t.
Substituindo em x_{1}+2x_{2}+t=3,
x_{1}=3-2\Bigl(\tfrac{2}{3}t\Bigr)-t =3-\tfrac{4}{3}t-t =3-\tfrac{7}{3}t.
Portanto a solução geral é
(x_{1},x_{2},x_{3}) =\Bigl(3-\tfrac{7}{3}t,\;\tfrac{2}{3}t,\;t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) v=6, w=7.
(b) \displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=\bigl(3-\tfrac{7}{3}t,\;\tfrac{2}{3}t,\;t\bigr), t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados