Achar as equações da reta que intercepta as retas r_{1} e r_{2} e é perpendicular a ambas.
r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=-1+t \y=2+3 t, \z=4 t\end{array} \text { para } t \in \mathbb{R}\right.e r_{2}: x=\frac{y-4}{2}=\frac{z-3}{3} .

Passo 1

O enunciado pede a reta L\) que intercepta as retas \[r_{1}:\begin{cases} x=-1+t\\\ y=2+3t\\\ z=4t \end{cases} \quad(t\in\mathbb{R})
e
r_{2}:\;x=\frac{y-4}{2}=\frac{z-3}{3},
sendo (L] perpendicular a ambas.
Conteúdo: geometria analítica no espaço, vetores diretores, produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Escrevemos r_{2} em forma paramétrica. Seja s=\tfrac{y-4}{2}. Então
y=4+2s,\quad x=s,\quad z=3+3s,
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r_{2}:\begin{cases} x=s\\\ y=4+2s\\\ z=3+3s \end{cases} \quad(s\in\mathbb{R}).

Passo 3

Denotemos
P(t)=(-1+t,\;2+3t,\;4t),\quad v_{1}=(1,3,4)
na reta r_{1} e
Q(s)=(s,\;4+2s,\;3+3s),\quad v_{2}=(1,2,3)
na reta r_{2}. A condição de perpendicularidade de PQ a r_{1} e r_{2} é
(Q(s)-P(t))\cdot v_{1}=0, \qquad (Q(s)-P(t))\cdot v_{2}=0.
Chamando
D(s,t)=Q(s)-P(t)=(s+1-t,\;2+2s-3t,\;3+3s-4t),
escrevemos o sistema
\begin{cases} (s+1-t)\cdot1+(2+2s-3t)\cdot3+(3+3s-4t)\cdot4=0,\\[6pt] (s+1-t)\cdot1+(2+2s-3t)\cdot2+(3+3s-4t)\cdot3=0. \end{cases}]

Passo 4

Simplificando cada equação obtemos
19s - 26t + 19 = 0, \qquad 14s - 19t + 14 = 0.
Resolvendo, encontra-se
s=-1, \quad t=0.
Isso dá
P(0)=(-1,2,0), \quad Q(-1)=(-1,2,0).
Logo as retas r_{1} e r_{2} se intersectam em
S=(-1,2,0).

Passo 5

A reta L procurada deve passar por S e ter direção perpendicular a v_{1} e v_{2}. Tomamos
n = v_{1}\times v_{2} =\det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&3&4\\\\ 1&2&3 \end{pmatrix} =(1,1,-1).
Assim
L:\begin{cases} x=-1+\lambda,\\\ y=2+\lambda,\\\ z=0-\lambda \end{cases} \quad(\lambda\in\mathbb{R})
ou, na forma simétrica,
\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}.

Resposta

\boxed{ \begin{cases} x=-1+\lambda,\\\ y=2+\lambda,\\\ z=-\lambda \end{cases} \quad(\lambda\in\mathbb{R}) }
ou
\boxed{ \frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}. }

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