Calcule a integral: \int_{C}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d s, C: x=t, y=\cos (2 t), z=\operatorname{sen}(2 t), 0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{3}.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 ao longo da curva C parametrizada por
r(t) = \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) = \bigl(t,\cos(2t),\sin(2t)\bigr), \quad 0 \le t \le \frac{\pi}{3}.
O conteúdo é integral de linha de função escalar, e vamos usar a fórmula
\int_C f\,ds = \int_a^b f\bigl(r(t)\bigr)\,\lvert r'(t)\rvert\,dt.

Passo 2

Calcular a derivada de r:
r'(t) = \bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr) = \bigl(1,-2\sin(2t),2\cos(2t)\bigr).
O módulo de r'(t) é
\lvert r'(t)\rvert = \sqrt{1 + (-2\sin(2t))^2 + (2\cos(2t))^2} = \sqrt{1 + 4(\sin^2(2t)+\cos^2(2t))} = \sqrt{5}.

Passo 3

Expressar f em termos de t:
f\bigl(r(t)\bigr) = t^2 + \cos^2(2t) + \sin^2(2t) = t^2 + 1.

Passo 4

Montar a integral segundo a fórmula:
\int_C (x^2+y^2+z^2)\,ds = \int_{0}^{\pi/3} \bigl(t^2 + 1\bigr)\,\sqrt{5}\,dt = \sqrt{5}\,\int_{0}^{\pi/3} (t^2 + 1)\,dt.

Passo 5

Calcular a integral em t:
\int_{0}^{\pi/3} (t^2 + 1)\,dt = \left[\frac{t^3}{3} + t\right]_{0}^{\pi/3} = \frac{(\pi/3)^3}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^3}{81} + \frac{\pi}{3}.
Multiplicando por \sqrt{5}, resulta
\sqrt{5}\,\Bigl(\frac{\pi^3}{81} + \frac{\pi}{3}\Bigr) = \frac{\pi\sqrt{5}}{81}\,(\pi^2 + 27).

Resposta

\int_C (x^2 + y^2 + z^2)\,ds = \sqrt{5}\,\Bigl(\frac{\pi^3}{81} + \frac{\pi}{3}\Bigr) = \frac{\pi\sqrt{5}}{81}\,(\pi^2 + 27).

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