[30%] Resolva pelo método de variação de parâmetros a EDO dada abaixo (ou seja, dê a solução geral da EDO), utilizando-se da fórmula abaixo para encontrar uma solução particular de uma equação nãohomogênea do tipo y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=g(x) (note que o g(x) é escolhido quando o termo que acompanha o y^prime prime é igual a 1):
yp(x)=-y1(x) integral y2(x) g(x)W(y1(x), y2(x)) d x+y2(x) integral y1(x) g(x)W(y1(x), y2(x)) d x
Dê a solução geral da EDO
y^prime prime-2 y^prime-24 y=10 cdot e^7 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' - 2y' - 24y = 10,e^7x
pelo método da variação de parâmetros, que consiste em achar primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular usando
yp(x)=-y1(x)integral y2(x),g(x)Wl(y1,y2r)dx +y2(x)integral y1(x),g(x)Wl(y1,y2r)dx,
onde g(x)=10,e^7x.

Passo 2

A parte homogênea é
y''-2y'-24y=0,
tem equação característica
r^2-2r-24=0;Longrightarrow;r=6,;-4
Logo as soluções fundamentais são
y1(x)=e^6x, y2(x)=e^-4x

Passo 3

Calculamos o Wronskiano
W(y1,y2) = y1y2'-y1'y2 = e^6xl(-4e^-4xr);-;6e^6x,e^-4x =-10,e^2x

Passo 4

Pela fórmula temos
u1'(x) =-y2(x),g(x)W(y1,y2) =-e^-4xcdot10e^7x-10e^2x =e^x
Integrando,
u1(x)=integral e^xdx=e^x

Passo 5

Analogamente
u2'(x) =y1(x),g(x)W(y1,y2) =e^6xcdot10e^7x-10e^2x =-e^11x,
e portanto
u2(x)=integral -e^11xdx=-111e^11x

Passo 6

A solução particular é
yp(x) = u1y1+u2y2 = e^xe^6x -111e^11xe^-4x =l(1-tfrac111r)e^7x =1011e^7x

Passo 7

Somando à solução homogênea, a solução geral fica
y(x)=C1e^6x+C2e^-4x+1011e^7x,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C1e^6x+C2e^-4x+tfrac1011e^7x

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