[30%] Resolva o PVI abaixo pelo método da Transformada de Laplace encontrando a função y=y(t) que satisfaz o PVI:
c y^prime prime+49 y y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''(t) + 49,y(t) = 0, y(0)=1, y'(0)=0,
usando o método da Transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
Ly'=sY(s)-y(0) e
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace à equação diferencial:
Ly''(t) + 49, Ly(t) ;=;0
Substituindo as fórmulas conhecidas, obtemos
l(s^2Y(s)-scdot y(0)-y'(0)r) +49,Y(s)=0
e, usando y(0)=1 e y'(0)=0, fica
s^2Y(s)-s +49,Y(s)=0

Passo 3

Agrupando em Y(s), temos
(s^2+49),Y(s)-s=0 Longrightarrow Y(s)=ss^2+49

Passo 4

Reconhecemos a transformada de
cos(7t), pois
Lcos(7t)(s) =ss^2+7^2 =ss^2+49
Logo, ao inverter a transformada, obtemos
y(t)=cos(7t)

Resposta

y(t)=cos(7t)

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