Determine as integrais das funções abaixo:
integral0^pi / 2lang<=cos 2 t, sen 2 trang<= d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função vetorial
f(t)=lang<= cos(2t),,sin(2t)rang<=
no intervalo 0<= t<= tfracpi2. O conteúdo aqui é integração de funções vetoriais, que se faz componente a componente.

Passo 2

Vamos integrar a primeira componente:
integral0^pi/2cos(2t),dt
Uma primitiva de cos(2t) é
12sin(2t),
pois ddtl[tfrac12sin(2t)r]=cos(2t). Avaliando de 0 a tfracpi2
integral0^pi/2cos(2t),dt =12sin(2t)|0^pi/2 =12l[sin(pi)-sin(0)r] =12(0-0) =0

Passo 3

Agora integramos a segunda componente:
integral0^pi/2sin(2t),dt
Uma primitiva de sin(2t) é
-12cos(2t),
pois ddtl[-tfrac12cos(2t)r]=sin(2t). Avaliando de 0 a tfracpi2
integral0^pi/2sin(2t),dt =-12cos(2t)|0^pi/2 =-12l[cos(pi)-cos(0)r] =-12(-1-1) =1

Passo 4

Como a integral de uma função vetorial é o vetor das integrais de cada componente, obtemos
integral0^pi/2lang<= cos(2t),,sin(2t)rang<= dt =llang<= 0,,1rrang<=

Resposta

lang<= 0,1rang<=

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