Determine as integrais das funções abaixo:
integral0^2|t i+t^2 j| d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^2l|t,i+t^2,jr|,dt
O conteúdo envolve: (1) reconhecer a norma de um vetor em R^2 e (2) resolver uma integral de função escalar por substituição.

Passo 2

Calculamos a norma do vetor t,i+t^2,j. Em R^2,
l|t,i+t^2,jr| =raizt^2+(t^2)^2 =raizt^2+t^4 =traiz1+t^2,
pois no intervalo de integração temos t>=0.

Passo 3

Substituímos na integral original:
integral0^2l|t,i+t^2,jr|,dt =integral0^2traiz1+t^2,dt
Agora usamos a substituição u=1+t^2, de modo que du=2t,dt e t,dt=tfrac12du. Quando t=0, u=1; quando t=2, u=5.

Passo 4

Com a troca de variável a integral vira
integral0^2traiz1+t^2,dt =12integral1^5u^1/2,du =12,[u^3/2tfrac32]1^5 =12cdot23l(5^3/2-1^3/2r) =13l(5^3/2-1r)

Passo 5

Observando que 5^3/2=5raiz5, obtemos a forma final
13l(5^3/2-1r) =5raiz5-13

Resposta

integral0^2l|t,i+t^2,jr|,dt =5raiz5-13

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