[40%] Considere a EDO de primeira ordem geral
M(x, y) d x+N(x, y) d y=0
Mostre que a EDO abaixo é exata e resolva a EDO tal que y=y(x).
(5 x^4 y^4+x^3) d x+(4 x^5 y^3+y^2) d y=0

Passo 1

Beleza, o enunciado manda mostrar que a EDO
(5x^4y^4 + x^3),dx + (4x^5y^3 + y^2),dy = 0
é exata e resolver pra y=y(x). Isso cai na matéria de EDOs exatas: a gente vai precisar checar a exatidão (derivadas parciais) e, depois, encontrar a chamada função potencial phi(x,y) que gera a solução.

Passo 2

Teoria rápida: uma EDO M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 é exata se e só se
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x
Aqui M=5x^4y^4 + x^3 e N=4x^5y^3 + y^2.
Calculemos:
partial Mpartial y =5x^4cdot4y^3 + 0 =20x^4y^3,
partial Npartial x =4cdot5x^4y^3 + 0 =20x^4y^3
Como deu a mesma coisa, a EDO é exata!

Passo 3

Agora a gente busca phi(x,y) tal que
phix = M e phiy = N.
Começa integrando M em x:
phi(x,y) = integral (5x^4y^4 + x^3),dx = y^4!integral5x^4,dx + integral x^3,dx = y^4,x^5 + x^44 + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Agora a gente usa phiy = N. Primeiro deriva a expressão acima em relação a y:
phiy = 4y^3,x^5 + h'(y)
Isso tem que bater com N=4x^5y^3 + y^2. Logo
4x^5y^3 + h'(y) = 4x^5y^3 + y^2 Longrightarrow h'(y)=y^2 Longrightarrow h(y)=y^33
Então
phi(x,y)=x^5y^4 + x^44 + y^33

Resposta

A solução geral implícita é
boxedx^5y^4 + x^44 + y^33 = C

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