[40%] Considere a EDO de primeira ordem geral
Mostre que a EDO abaixo é exata e resolva a EDO tal que
.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda mostrar que a EDO
é exata e resolver pra
. Isso cai na matéria de EDOs exatas: a gente vai precisar checar a exatidão (derivadas parciais) e, depois, encontrar a chamada função potencial
que gera a solução.
Passo 2
Teoria rápida: uma EDO
é exata se e só se
Aqui
e
.
Calculemos:
Calculemos:
Como deu a mesma coisa, a EDO é exata!
Passo 3
Agora a gente busca
tal que
e
.
Começa integrando em
:
Começa integrando
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Agora a gente usa
. Primeiro deriva a expressão acima em relação a
:
Isso tem que bater com
. Logo
Então
Resposta
A solução geral implícita é