Informando sempre a técnica utilizada, resolva as integrais (cada item vale 1,5 pontos).
integral sen^3 x cos ^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral sin^3 x cos^2 x , dx
O conteúdo envolve potências de seno e cosseno. A técnica será usar a identidade sin^2 x = 1 - cos^2 x e a substituição u = cos x.

Passo 2

Separe um fator de sin x para combinar com dx e use a identidade sin^2 x = 1 - cos^2 x. Assim,
sin^3 x cos^2 x = sin^2 x cos^2 x sin x = (1 - cos^2 x)cos^2 x sin x
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integral sin^3 x cos^2 x , dx = integral (1 - cos^2 x)cos^2 x sin x , dx

Passo 3

Faça a substituição u = cos x, de onde du = -sin x,dx ou sin x,dx = -du. Então a integral vira
integral (1 - u^2)u^2 sin x,dx = -integral (1 - u^2)u^2 ,du = -integral (u^2 - u^4) ,du

Passo 4

Integre o polinômio em u:
-integral (u^2 - u^4) ,du = -l(u^33 - u^55r) + C = -u^33 + u^55 + C
Voltando a x com u = cos x, obtemos
-cos^3 x3 + cos^5 x5 + C

Resposta

-cos^3 x3 + cos^5 x5 + C

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