[30%] Seja
e considere a seguinte EDO de primeira ordem:
Use a substituição do tipo
para encontrar a solução implícita da EDO.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra resolver a EDO de primeira ordem
usando a substituição
.
Isso cai em técnica de equações de 1ª ordem onde a gente troca de variável pra simplificar.
Vamos precisar:
Isso cai em técnica de equações de 1ª ordem onde a gente troca de variável pra simplificar.
Vamos precisar:
- Expressar
e em função de ; - Substituir na EDO e isolar
; - Integrar pra achar
; - Voltar pra
.
Passo 2
Definimos
Agora precisamos de
:
Passo 3
Substituindo na EDO original
fica
Cancelamos o
dos dois lados e obtemos
Passo 4
Agora integramos em ambos os lados:
Como
, dá
.
Passo 5
Lembrando que
, voltamos pra
:
Essa é a forma implícita da solução.