[30%] Seja x>0 e considere a seguinte EDO de primeira ordem:
y^prime=yx-5
Use a substituição do tipo W=yx para encontrar a solução implícita da EDO.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver a EDO de primeira ordem
y' = yx - 5, x>0,
usando a substituição W = yx.
Isso cai em técnica de equações de 1ª ordem onde a gente troca de variável pra simplificar.
Vamos precisar:
  1. Expressar y e y' em função de W;
  2. Substituir na EDO e isolar W';
  3. Integrar pra achar W(x);
  4. Voltar pra y.

Passo 2

Definimos
W = yx Longrightarrow y = x,W
Agora precisamos de y':
y' = ddx(xW) = 1cdot W + xcdot W' = W + x,W'

Passo 3

Substituindo na EDO original
y' = yx - 5
fica
W + x,W' = W - 5
Cancelamos o W dos dois lados e obtemos
x,W' = -5 Longrightarrow W' = -5x

Passo 4

Agora integramos em ambos os lados:
integral W',dx = integral -5x,dx ;Longrightarrow; W = -5ln|x| + C
Como x>0, dá W = -5ln x + C.

Passo 5

Lembrando que W = yx, voltamos pra y:
yx = -5ln x + C
Essa é a forma implícita da solução.

Resposta

boxed yx + 5ln x = C

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