[35%] Resolva o seguinte PVI:
l d yd x+11 y=5 x y(0)=2 ; y=y(x)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver o PVI
dydx+11,y=5x, y(0)=2
Conteúdo da matéria: equação diferencial ordinária linear de primeira ordem.
O que a gente vai precisar:
  1. fator integrante;
  2. integrar por partes a expressão que aparecer;
  3. aplicar a condição inicial pra achar a constante.

Passo 2

Lembra da teoria: uma EDO linear de 1ª ordem tem formato
dydx+P(x),y=Q(x)
Aqui P(x)=11 e Q(x)=5x.
O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral 11,dx=e^11x
Multiplicando a equação por mu(x) a gente obtém
e^11xdydx+11,e^11xy =;5x,e^11x
O lado esquerdo é, por construção, a derivada de y,e^11x:
ddxl(y,e^11xr)=5x,e^11x

Passo 3

Agora integra dos dois lados:
integral ddxl(y,e^11xr),dx =integral 5x,e^11x,dx
No lado direito, vamos usar integração por partes. Seja
u=5x, dv=e^11xdx ;Longrightarrow; du=5dx, v=e^11x11
Então
integral 5x,e^11xdx =5xcdote^11x11 -integral 5,e^11x11,dx =5x,e^11x11 -511cdote^11x11 + C =5x,e^11x11 -5,e^11x121 + C
Logo
y,e^11x =5x,e^11x11 -5,e^11x121 + C

Passo 4

Despejando y:
y(x) =5x11 -5121 + C,e^-11x
Agora usamos y(0)=2:
2 =5cdot 011 -5121 + Ccdot e^0 =-5121+C Longrightarrow C=2+5121 =242+5121 =247121

Resposta

boxedy(x)=5x11-5121+247121,e^-11x

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