1. Invertas a ordem de integração em

Passo 1

O exercício pede para inverter a ordem de integração na integral dupla integral-2^3/2l(integral(x+2)/2^4-x^2f(x,y),dyr),dx. O conteúdo é integração dupla e vamos precisar entender bem a região de integração no plano xy e como expressar seus limites em função de y.

Passo 2

Vamos primeiro descrever a região R empreendendo a análise dos limites originais. Para cada x em [-2,3/2], temos y variando de y=(x+2)/2 (reta) até y=4-x^2 (parábola).

Passo 3

Para inverter a ordem, é crucial achar o intervalo de y. Igualando as curvas:

Passo 4

x+22=4-x^2Longrightarrow 2x^2+x-6=0,,

Passo 5

cuja solução dá x=-2 e x=3/2. Substituindo em uma das equações, descobrimos que y varia de 0 (em x=-2) até 7/4 (em x=3/2).

Passo 6

Agora, para um valor fixo de yin[0,7/4], os limites de x vêm de:

Passo 7

— reta invertida y=(x+2)/2 x=2y-2;

Passo 8

— ramo direito da parábola y=4-x^2 x=raiz4-y.

Passo 9

Portanto, ao inverter a ordem, para cada y entre 0 e 7/4, x varia de 2y-2 até raiz4-y.

Resposta

[\n\int_{0}{\tfrac{7}{4}}\Bigl(\int_{2y-2}{\sqrt{4-y}}f(x,y),dx\Bigr),dy\n]

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