- Invertas a ordem de integração em
Passo 1
O exercício pede para inverter a ordem de integração na integral dupla
. O conteúdo é integração dupla e vamos precisar entender bem a região de integração no plano
e como expressar seus limites em função de
.
Passo 2
Vamos primeiro descrever a região
empreendendo a análise dos limites originais. Para cada
em
, temos
variando de
(reta) até
(parábola).
Passo 3
Para inverter a ordem, é crucial achar o intervalo de
. Igualando as curvas:
Passo 4
Passo 5
cuja solução dá
e
. Substituindo em uma das equações, descobrimos que
varia de
(em
) até
(em
).
Passo 6
Agora, para um valor fixo de
, os limites de
vêm de:
Passo 7
— reta invertida
⇒
;
Passo 8
— ramo direito da parábola
⇒
.
Passo 9
Portanto, ao inverter a ordem, para cada
entre
e
,
varia de
até
.
Resposta
[\n\int_{0}{\tfrac{7}{4}}\Bigl(\int_{2y-2}{\sqrt{4-y}}f(x,y),dx\Bigr),dy\n]