[35%] Considere a EDO de primeira ordem geral
M(x, y) d x+N(x, y) d y=0
Mostre que a EDO abaixo é exata e resolva a equação dada:
(x^3+5 y+7) d x+(5 x-6 y^2+3) d y=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a EDO
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=x^3+5y+7, N(x,y)=5x-6y^2+3
é exata e, depois, resolver essa equação.
Conteúdo: equações diferenciais de 1ª ordem exatas.
O que vamos precisar:
  1. Verificar o critério de exatidão: partial M/partial y = partial N/partial x.
  2. Encontrar a “função potencial” F(x,y) tal que dF = M,dx + N,dy.
  3. Escrever a solução geral F(x,y)=C.

Passo 2

Teoria rápida: uma EDO M,dx+N,dy=0 é exata se existir F(x,y) com
partial Fpartial x=M, partial Fpartial y=N
e o teste prático é
partial Mpartial y stackrel?= partial Npartial x
Vamos calcular:
partial Mpartial y = partialpartial y(x^3+5y+7)=5, partial Npartial x = partialpartial x(5x-6y^2+3)=5
Como deu igual (5=5), a EDO é exata.

Passo 3

Agora, como é exata, existe F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M=x^3+5y+7
Integramos isso em relação a x:
F(x,y)=integral (x^3+5y+7),dx =x^44+5yx+7x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para achar h(y), usamos a outra condição partial F/partial y=N:
partial Fpartial y =partialpartial yl(tfracx^44+5yx+7x + h(y)r) =5x + h'(y) stackrel!= N = 5x -6y^2+3
Isso dá
h'(y) = -6y^2+3 Longrightarrow h(y)=integral(-6y^2+3),dy = -2y^3+3y + C1
Podemos absorver C1 na constante final.

Resposta

A solução implícita geral é
boxedx^44 + 5xy + 7x ;-;2y^3 +3y = C

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