[35%] Considere a EDO de primeira ordem geral
Mostre que a EDO abaixo é exata e resolva a equação dada:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a EDO
com
é exata e, depois, resolver essa equação.
Conteúdo: equações diferenciais de 1ª ordem exatas.
O que vamos precisar:
Conteúdo: equações diferenciais de 1ª ordem exatas.
O que vamos precisar:
- Verificar o critério de exatidão:
. - Encontrar a “função potencial”
tal que . - Escrever a solução geral
.
Passo 2
Teoria rápida: uma EDO
é exata se existir
com
e o teste prático é
Vamos calcular:
Como deu igual (5=5), a EDO é exata.
Passo 3
Agora, como é exata, existe
tal que
Integramos isso em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Para achar
, usamos a outra condição
:
Isso dá
Podemos absorver
na constante final.
Resposta
A solução implícita geral é