Use o polinômio de Taylor de grau 4 de para estimar o valor da integral .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o polinômio de Taylor de grau 4 da função para estimar a integral de de 0 a 1. Isso envolve conhecimento de séries de Taylor e cálculo de integrais. Vamos precisar expandir em um polinômio de Taylor de grau 4 e depois integrar essa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma aproximação de uma função usando uma soma de potências de , onde é o ponto em que estamos expandindo. No nosso caso, vamos expandir em torno de , ou seja, a série de Maclaurin.
Passo 3
A série de Taylor de em torno de é:
Como precisamos do polinômio de grau 4, vamos parar nos termos até :
Passo 4
Agora, queremos aproximar usando esse polinômio. Basta substituir por na expressão de :
Passo 5
Com essa aproximação, nossa integral fica assim:
Vamos resolver essa integral termo a termo.
Passo 6
Integrando :
Integrando :
Passo 7
Agora, avaliamos as integrais definidas de 0 a 1:
Para de 0 a 1:
Para -x^742 de 0 a 1:
-x^742 |0^1 = -1^742 - ( -0^742 ) = -142
Passo 8
Somando os resultados das integrais:
13 - 142 = 1442 - 142 = 1342
Resposta
A estimativa da integral integral0^1 sen(x^2) d x usando o polinômio de Taylor de grau 4 é 1342, ou aproximadamente 0,3095.