(30 %) Use o polinômio de Taylor de grau 4 de sen(x) para estimar o valor da integral integral0^1 sen(x^2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o polinômio de Taylor de grau 4 da função sen(x) para estimar a integral de sen(x^2) de 0 a 1. Isso envolve conhecimento de séries de Taylor e cálculo de integrais. Vamos precisar expandir sen(x) em um polinômio de Taylor de grau 4 e depois integrar essa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma aproximação de uma função usando uma soma de potências de (x - a), onde a é o ponto em que estamos expandindo. No nosso caso, vamos expandir sen(x) em torno de 0, ou seja, a série de Maclaurin.

Passo 3

A série de Taylor de sen(x) em torno de 0 é:
sen(x) = x - x^36 + x^5120 - cdots
Como precisamos do polinômio de grau 4, vamos parar nos termos até x^3:
P4(x) = x - x^36

Passo 4

Agora, queremos aproximar sen(x^2) usando esse polinômio. Basta substituir x por x^2 na expressão de P4(x):
sen(x^2) approx P4(x^2) = x^2 - (x^2)^36 = x^2 - x^66

Passo 5

Com essa aproximação, nossa integral fica assim:
integral0^1 sen(x^2) dx approx integral0^1 ( x^2 - x^66 ) dx
Vamos resolver essa integral termo a termo.

Passo 6

Integrando x^2:
integral x^2 dx = x^33
Integrando -x^66:
integral -x^66 dx = -x^742

Passo 7

Agora, avaliamos as integrais definidas de 0 a 1:
Para x^33 de 0 a 1:
x^33 |0^1 = 1^33 - 0^33 = 13
Para -x^742 de 0 a 1:
-x^742 |0^1 = -1^742 - ( -0^742 ) = -142

Passo 8

Somando os resultados das integrais:
13 - 142 = 1442 - 142 = 1342

Resposta

A estimativa da integral integral0^1 sen(x^2) d x usando o polinômio de Taylor de grau 4 é 1342, ou aproximadamente 0,3095.

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