Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
f(x)=exp (k x), onde k - constante;

Passo 1

O enunciado pede pra gente verificar se a função f(x)=exp(kx) é admissível para a transformada de Laplace e, se sim, calcular L{f}. Vamos precisar lembrar o que significa admissível (continuidade e ordem exponencial) e usar a definição de transformada.

Passo 2

A função f(x)=exp(kx) é contínua em [0,∞), logo é, no mínimo, contínua por partes em qualquer intervalo finito. Esse é o primeiro requisito de admissibilidade.

Passo 3

O segundo requisito é ordem exponencial: devemos mostrar que existem constantes M>0, α e x₀ tais que |f(x)| ≤ M·exp(αx) para todo x>x₀. Aqui |e^{kx}| = e^{Re(k)x}. Basta escolher α = Re(k) e M = 1 (com x₀ = 0). Portanto f é de ordem exponencial e, assim, admissível.

Passo 4

Agora aplicamos a definição da transformada de Laplace:
\\\\\\\\laplace

Resposta

A função f(x)=e^{kx} é admissível e sua transformada de Laplace é:
Le^kx(s)=integral0^inftye^-sxe^kxdx=integral0^inftye^-(s-k)xdx=1s-k,Re(s)>Re(k)

Exercícios relacionados