Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
, onde
- constante;
Passo 1
O enunciado pede pra gente verificar se a função f(x)=exp(kx) é admissível para a transformada de Laplace e, se sim, calcular L{f}. Vamos precisar lembrar o que significa admissível (continuidade e ordem exponencial) e usar a definição de transformada.
Passo 2
A função f(x)=exp(kx) é contínua em [0,∞), logo é, no mínimo, contínua por partes em qualquer intervalo finito. Esse é o primeiro requisito de admissibilidade.
Passo 3
O segundo requisito é ordem exponencial: devemos mostrar que existem constantes M>0, α e x₀ tais que |f(x)| ≤ M·exp(αx) para todo x>x₀. Aqui |e^{kx}| = e^{Re(k)x}. Basta escolher α = Re(k) e M = 1 (com x₀ = 0). Portanto f é de ordem exponencial e, assim, admissível.
Passo 4
Agora aplicamos a definição da transformada de Laplace:
\\\\\\\\laplace
\\\\\\\\laplace
Resposta
A função f(x)=e^{kx} é admissível e sua transformada de Laplace é: