A 300 / \mathrm{C}, a constante de velocidade para a reação \mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{6} \rightarrow \mathrm{H}_{2} \mathrm{C}=\mathrm{CH}-\mathrm{CH}_{3} é 2,41 \times 10^{-} { }^{10} \mathrm{~s}^{-1}. A 400^{\circ} \mathrm{C}, k é igual a 1,16 \times 10^{-6} \mathrm{~s}^{-1}. Qual é o valor de Ea?

Passo 1

O enunciado fornece duas constantes de velocidade para a mesma reação em duas temperaturas diferentes e pede a energia de ativação E_a. O conteúdo aqui é a lei de Arrhenius, que relaciona a constante de velocidade k com a temperatura T via
k = A \exp\Bigl(-\frac{E_a}{R\,T}\Bigr),
onde A é o fator pré-exponencial e R é a constante dos gases ideais. Vamos usar os valores
T_1 = 300^\circ\text{C} = 300 + 273 = 573\;\text{K},\quad k_1 = 2{,}41 \times 10^{-10}\;\mathrm{s}^{-1},
T_2 = 400^\circ\text{C} = 400 + 273 = 673\;\text{K},\quad k_2 = 1{,}16 \times 10^{-6}\;\mathrm{s}^{-1}.

Passo 2

Para eliminar A usa-se a forma de dois pontos da lei de Arrhenius, que dá
\ln\bigl(\tfrac{k_2}{k_1}\bigr) \;=\;\frac{E_a}{R}\,\Bigl(\tfrac{1}{T_1}-\tfrac{1}{T_2}\Bigr).

Passo 3

Calcule o logaritmo da razão das constantes de velocidade:
\ln\bigl(\tfrac{k_2}{k_1}\bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac{1{,}16\times10^{-6}}{2{,}41\times10^{-10}}\bigr) =\ln(4{,}81\times10^{3}) \approx 8{,}48.

Passo 4

Calcule a diferença dos inversos das temperaturas:
\tfrac{1}{T_1}-\tfrac{1}{T_2} =\tfrac{1}{573}-\tfrac{1}{673} \approx 0{,}001745 - 0{,}001486 =0{,}000259\;\text{K}^{-1}.

Passo 5

Isole E_a na equação do Passo 2:
E_a =R\;\frac{\ln(k_2/k_1)}{\tfrac{1}{T_1}-\tfrac{1}{T_2}} =8{,}314\;\frac{8{,}48}{0{,}000259} \;\approx\;2{,}72\times10^{5}\;\mathrm{J/mol}.
Convertendo para kJ/mol,
E_a \approx 272\;\mathrm{kJ/mol}.

Resposta

A energia de ativação é aproximadamente 272\;\mathrm{kJ/mol}.

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