[30pts] Resolva as seguintes EDO’s de primeira ordem e em cada uma diga qual foi o método utilizado para resolver tal EDO.
x y^prime+y=3 x sen(2 x), se x>0.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
x,y' + y = 3,xsin(2x), x>0
O tipo de equação é linear de primeira ordem e o método que vamos usar é o fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por x:
y' + 1x,y = 3sin(2x)
O fator integrante é
mu(x) = expl(integral tfrac1x,dxr)=exp(ln x)=x
Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x obtemos
x,y' + y = 3,xsin(2x)

Passo 3

Reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto x,y:
ddxl(x,yr) = 3,xsin(2x)
Integramos ambos os lados:
x,y = integral 3,xsin(2x),dx + C
Para calcular integral 3xsin(2x),dx usamos integração por partes com
u = x, dv = 3sin(2x),dx. Isso dá
integral 3xsin(2x),dx = -32,xcos(2x) + 34sin(2x)

Passo 4

Substituindo na integral, temos
x,y = -32,xcos(2x) + 34sin(2x) + C
Isolando y:
y(x) = -32cos(2x) + 34xsin(2x) + Cx

Resposta

y(x) = -32cos(2x) + 34xsin(2x) + Cx,
obtida pelo método do fator integrante para EDO linear de primeira ordem.

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