3^ a QUESTA A O - Determine se as seguintes séries convergem ou divergem:
s3=sumk=1^+infty kk^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a série s3 = sumk=1^+infty kk^2+1 converge ou diverge. Estamos falando de séries infinitas, que é um tópico de Cálculo envolvendo o estudo da soma de uma sequência de termos. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries, como o teste de comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série. Observando a fração kk^2+1 , percebemos que tanto o numerador quanto o denominador crescem com k , mas de taxas diferentes. Para grandes valores de k , o termo k^2 no denominador domina, então a fração se comporta aproximadamente como kk^2 = 1k .

Passo 3

Sabemos que a série sumk=1^+infty 1k é a famosa série harmônica, que diverge. Isso significa que, mesmo somando termos cada vez menores, a soma total cresce sem limite.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste de Comparação. Esse teste nos permite comparar a série em questão com uma série conhecida para determinar o comportamento de convergência ou divergência.
Comparando os termos ak = kk^2+1 da nossa série com bk = 1k , já vimos que ak approx bk para grandes k . Mais formalmente, calculamos o limite:
limk to infty akbk = limk to infty kk^2+11k = limk to infty k^2k^2+1 = 1

Passo 5

Como o limite é um número positivo finito (neste caso, 1), o Teste de Comparação nos diz que ambas as séries, sum ak e sum bk , compartilham o mesmo comportamento de convergência. Sabemos que sum bk (a série harmônica) diverge.

Resposta

Portanto, a série sumk=1^+infty kk^2+1 diverge.

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