QUESTA
- Determine se as seguintes séries convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a série
converge ou diverge. Estamos falando de séries infinitas, que é um tópico de Cálculo envolvendo o estudo da soma de uma sequência de termos. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries, como o teste de comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série. Observando a fração
, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador crescem com
, mas de taxas diferentes. Para grandes valores de
, o termo
no denominador domina, então a fração se comporta aproximadamente como
.
Passo 3
Sabemos que a série
é a famosa série harmônica, que diverge. Isso significa que, mesmo somando termos cada vez menores, a soma total cresce sem limite.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste de Comparação. Esse teste nos permite comparar a série em questão com uma série conhecida para determinar o comportamento de convergência ou divergência.
Comparando os termos
da nossa série com
, já vimos que
para grandes
. Mais formalmente, calculamos o limite:
Passo 5
Como o limite é um número positivo finito (neste caso, 1), o Teste de Comparação nos diz que ambas as séries,
e
, compartilham o mesmo comportamento de convergência. Sabemos que
(a série harmônica) diverge.
Resposta
Portanto, a série
diverge.